Estenda 1+x, 1+x+x^2 a uma base de P2.

Passo 1

O enunciado pede para estender o conjunto 1+x,;1+x+x^2 a uma base de P2, o espaço dos polinômios de grau <=2. Aqui o conteúdo é espaços vetoriais, dimensão e bases: sabemos que dim P2=3, então precisamos de 3 polinômios linearmente independentes para formar uma base.

Passo 2

Antes de tudo, confirmamos que os dois polinômios dados são independentes. Se existir
então, desenvolvendo, obtemos
Isso gera o sistema
cuja única solução é é independente.

Passo 3

Como dim P2=3 e já temos 2 vetores independentes, só falta escolher um terceiro polinômio que não pertença ao span deles. O span de 1+x,,1+x+x^2 são todos os polinômios cujo coeficiente de x é igual ao termo constante. Para romper essa relação, basta escolher, por exemplo,
p(x)=x,
cujo termo constante é 0, mas o coeficiente de x é 1. Assim x não pode ser obtido como combinação de 1+x e 1+x+x^2.

Passo 4

Verificamos então que 1+x,;1+x+x^2,;x é independente: suponha
A(1+x)+B(1+x+x^2)+C,x=0
Expandindo,
(A+B)+(A+B+C)x+B,x^2equiv0+0x+0x^2
implica
B=0, A+B=0;Rightarrow;A=0, A+B+C=0;Rightarrow;C=0
Logo só a combinação trivial leva ao zero, confirmando a independência.

Passo 5

Como temos 3 vetores independentes em P2, concluímos que
,1+x,;1+x+x^2,;x
é de fato uma base de P2.

Resposta

,1+x,;1+x+x^2,;x é uma base de P2.

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