O enunciado pede para estender o conjunto a uma base de , o espaço dos polinômios de grau . Aqui o conteúdo é espaços vetoriais, dimensão e bases: sabemos que , então precisamos de polinômios linearmente independentes para formar uma base.
Passo 2
Antes de tudo, confirmamos que os dois polinômios dados são independentes. Se existir
então, desenvolvendo, obtemos
Isso gera o sistema
cuja única solução é é independente.
Passo 3
Como dim P2=3 e já temos 2 vetores independentes, só falta escolher um terceiro polinômio que não pertença ao span deles. O span de 1+x,,1+x+x^2 são todos os polinômios cujo coeficiente de x é igual ao termo constante. Para romper essa relação, basta escolher, por exemplo,
p(x)=x,
cujo termo constante é 0, mas o coeficiente de x é 1. Assim x não pode ser obtido como combinação de 1+x e 1+x+x^2.
Passo 4
Verificamos então que 1+x,;1+x+x^2,;x é independente: suponha
A(1+x)+B(1+x+x^2)+C,x=0
Expandindo,
(A+B)+(A+B+C)x+B,x^2equiv0+0x+0x^2
implica
B=0, A+B=0;Rightarrow;A=0, A+B+C=0;Rightarrow;C=0
Logo só a combinação trivial leva ao zero, confirmando a independência.
Passo 5
Como temos 3 vetores independentes em P2, concluímos que