Estenda [ll0 & 1 0 & 1],[ll1 & 1 0 & 1] a uma base de M22.

Passo 1

O enunciado pede estender o conjunto
A,B com
A=0&10&1, B=1&10&1
a uma base de M2times2. Como dim M2times2=4, precisamos de mais duas matrizes que, juntas com A e B, formem um conjunto de quatro matrizes linearmente independentes.

Passo 2

Para ver o espaço gerado por A e B, escrevemos-nas na base canônica
E11=1&00&0,; E12=0&10&0,; E21=0&01&0,; E22=0&00&1
Observamos então
A = E12+E22, B = E11+E12+E22

Passo 3

O subespaço spanA,B é
alpha(E12+E22)+beta(E11+E12+E22)mid alpha,betain R,
que é de dimensão 2 e não contém isoladamente E12 nem E21. Portanto, podemos escolher
C = E12 = 0&10&0, D = E21 = 0&01&0
para completar nossa base.

Passo 4

Verificamos independência de A,B,C,D. Se
alpha A + beta B + gamma C + de<a D = 0,
então, usando as expressões em Eij,
alpha A + beta B + gamma C + de<a D = beta E11 + (alpha+beta+gamma)E12 + de<a E21 + (alpha+beta)E22
Para anular cada coeficiente, precisamos de
beta=0, alpha+beta+gamma=0, de<a=0, alpha+beta=0 ;Longrightarrow; alpha=beta=gamma=de<a=0
Logo são independentes.

Passo 5

Temos agora quatro matrizes independentes em um espaço de dimensão 4, logo formam base de M2times2.

Resposta

Uma base é

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