Encontre uma base para cada subespaço de M_{3 \times 3} abaixo: S=\left\{A \in M_{3 \times 3} ; a_{11}=a_{22}=a_{33}\right\};
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma base para o subespaço S de M_{3\times3} formado por todas as matrizes A=(a_{ij}) tais que a_{11}=a_{22}=a_{33}.
Informações dadas e o que é pedido:
Dado: S=\{A\in M_{3\times3}\mid a_{11}=a_{22}=a_{33}\}. Todas as entradas fora da diagonal principal podem ser quaisquer números reais; as três entradas diagonais são iguais entre si (mas podem ser qualquer número, desde que iguais).
Pedido: encontrar uma base de S (um conjunto de matrizes que gera S por combinações lineares e cujos elementos são linearmente independentes).
Passo 2
Antes de começar a resolver, vamos lembrar o que significa “base” de forma bem simples e prática:
Uma coleção de vetores (aqui “vetores” = matrizes) gera (ou “espalha”) um subespaço se qualquer elemento desse subespaço pode ser obtido como combinação linear desses vetores.
Esses vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá a matriz zero é a combinação em que todos os coeficientes são zero.
Então para achar uma base precisamos: (1) propor um conjunto de matrizes; (2) mostrar que qualquer matriz de S pode ser escrita como combinação linear desse conjunto; (3) mostrar que os elementos propostos são linearmente independentes. Vou fazer isso passo a passo, sem pular nada.
Passo 3
Vamos parametrizar uma matriz genérica A\in S. Como as entradas diagonais são iguais, chamo esse valor de t. As entradas fora da diagonal são independentes; vou nomeá-las:
A=\begin{pmatrix} t & b_{12} & b_{13}\\[4pt] b_{21} & t & b_{23}\\[4pt] b_{31} & b_{32} & t \end{pmatrix},
onde t,b_{12},b_{13},b_{21},b_{23},b_{31},b_{32} são números reais quaisquer. Note que há 7 parâmetros livres aqui: t e os seis b_{ij} com i\neq j. Isso já sugere que a dimensão de S é 7, então uma base terá 7 matrizes.]
Passo 4
Uma construção natural de base: separar a parte “comum à diagonal” e cada entrada fora da diagonal. Defino:
D como a matriz que tem 1 em cada posição diagonal e 0 nas outras:
Proponho que o conjunto \{D,E_{12},E_{13},E_{21},E_{23},E_{31},E_{32}\} seja uma base de S.]
Passo 5
Mostro primeiro que esse conjunto gera S (ou seja, qualquer A\in S pode ser escrito como combinação linear dessas matrizes). Pegue a matriz genérica parametrizada no Passo 3. Observe que
onde 0 é a matriz zero. Olhando posição por posição:
Em qualquer posição fora da diagonal (i\neq j) só aparece o coeficiente \beta_{ij} (porque D tem zeros fora da diagonal e apenas E_{ij} contribui nessa posição). Assim para cada (i,j) com i\neq j obtemos \beta_{ij}=0.
Nas posições diagonais (1,1),(2,2),(3,3) a única contribuição é de \alpha D, ou seja cada uma dessas entradas vale \alpha. Como a soma é a matriz zero, obtemos \alpha=0.
Logo todos os coeficientes são zero; isto prova a independência linear dos sete elementos.
Passo 7
Concluímos que o conjunto \{D,E_{12},E_{13},E_{21},E_{23},E_{31},E_{32}\} gera S e é linearmente independente; portanto é uma base de S. Também confirmamos que \dim S=7. Boa! Você agora tem uma base explícita e sabe como escrever qualquer matriz de S como combinação linear desses elementos — isso é exatamente o que vai te salvar na prova quando cair um exercício parecido.