Encontre uma base para cada subespaço de M_{3 \times 3} abaixo:
S=\left\{A \in M_{3 \times 3} ; a_{11}=a_{22}=a_{33}\right\};

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma base para o subespaço S de M_{3\times3} formado por todas as matrizes A=(a_{ij}) tais que a_{11}=a_{22}=a_{33}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Dado: S=\{A\in M_{3\times3}\mid a_{11}=a_{22}=a_{33}\}. Todas as entradas fora da diagonal principal podem ser quaisquer números reais; as três entradas diagonais são iguais entre si (mas podem ser qualquer número, desde que iguais).
  • Pedido: encontrar uma base de S (um conjunto de matrizes que gera S por combinações lineares e cujos elementos são linearmente independentes).

Passo 2

Antes de começar a resolver, vamos lembrar o que significa “base” de forma bem simples e prática:
  • Uma coleção de vetores (aqui “vetores” = matrizes) gera (ou “espalha”) um subespaço se qualquer elemento desse subespaço pode ser obtido como combinação linear desses vetores.
  • Esses vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá a matriz zero é a combinação em que todos os coeficientes são zero.
    Então para achar uma base precisamos: (1) propor um conjunto de matrizes; (2) mostrar que qualquer matriz de S pode ser escrita como combinação linear desse conjunto; (3) mostrar que os elementos propostos são linearmente independentes. Vou fazer isso passo a passo, sem pular nada.

Passo 3

Vamos parametrizar uma matriz genérica A\in S. Como as entradas diagonais são iguais, chamo esse valor de t. As entradas fora da diagonal são independentes; vou nomeá-las:
A=\begin{pmatrix} t & b_{12} & b_{13}\\[4pt] b_{21} & t & b_{23}\\[4pt] b_{31} & b_{32} & t \end{pmatrix},
onde t,b_{12},b_{13},b_{21},b_{23},b_{31},b_{32} são números reais quaisquer. Note que há 7 parâmetros livres aqui: t e os seis b_{ij} com i\neq j. Isso já sugere que a dimensão de S é 7, então uma base terá 7 matrizes.]

Passo 4

Uma construção natural de base: separar a parte “comum à diagonal” e cada entrada fora da diagonal. Defino:
  • D como a matriz que tem 1 em cada posição diagonal e 0 nas outras:
D=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}.
  • Para cada par (i,j) com i\neq j chamo E_{ij} a matriz com 1 na posição (i,j) e 0 em todas as outras posições. Explicitamente são seis matrizes:
E_{12}=\begin{pmatrix}0&1&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},\; E_{13}=\begin{pmatrix}0&0&1\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},
E_{21}=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]1&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},\; E_{23}=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&1\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},
E_{31}=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]1&0&0\end{pmatrix},\; E_{32}=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}.
Proponho que o conjunto \{D,E_{12},E_{13},E_{21},E_{23},E_{31},E_{32}\} seja uma base de S.]

Passo 5

Mostro primeiro que esse conjunto gera S (ou seja, qualquer A\in S pode ser escrito como combinação linear dessas matrizes). Pegue a matriz genérica parametrizada no Passo 3. Observe que
tD = \begin{pmatrix}t&0&0\\[4pt]0&t&0\\[4pt]0&0&t\end{pmatrix},
e para os E_{ij}
b_{12}E_{12}=\begin{pmatrix}0&b_{12}&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},\quad b_{13}E_{13}=\begin{pmatrix}0&0&b_{13}\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},
e assim por diante para os outros b_{ij}E_{ij}. Somando todas essas contribuições obtemos exatamente A:
A = tD + b_{12}E_{12} + b_{13}E_{13} + b_{21}E_{21} + b_{23}E_{23} + b_{31}E_{31} + b_{32}E_{32}.
Portanto o conjunto proposto gera S.]

Passo 6

Agora mostro que os sete vetores propostos são linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear que dá a matriz zero:
\alpha D + \beta_{12}E_{12} + \beta_{13}E_{13} + \beta_{21}E_{21} + \beta_{23}E_{23} + \beta_{31}E_{31} + \beta_{32}E_{32} = 0,
onde 0 é a matriz zero. Olhando posição por posição:
  • Em qualquer posição fora da diagonal (i\neq j) só aparece o coeficiente \beta_{ij} (porque D tem zeros fora da diagonal e apenas E_{ij} contribui nessa posição). Assim para cada (i,j) com i\neq j obtemos \beta_{ij}=0.
  • Nas posições diagonais (1,1),(2,2),(3,3) a única contribuição é de \alpha D, ou seja cada uma dessas entradas vale \alpha. Como a soma é a matriz zero, obtemos \alpha=0.
    Logo todos os coeficientes são zero; isto prova a independência linear dos sete elementos.

Passo 7

Concluímos que o conjunto \{D,E_{12},E_{13},E_{21},E_{23},E_{31},E_{32}\} gera S e é linearmente independente; portanto é uma base de S. Também confirmamos que \dim S=7. Boa! Você agora tem uma base explícita e sabe como escrever qualquer matriz de S como combinação linear desses elementos — isso é exatamente o que vai te salvar na prova quando cair um exercício parecido.

Resposta

\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&1&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&0&1\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]1&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&1\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]1&0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}]

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