V ou F:
( ) \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right),\right\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.
( ) \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right),\right\} é base de \mathbb{R}^{3}
( ) Se S=S_{1} \oplus S_{2} e C e B são bases de S_{1} e S_{2}, resp., então B \cup C é uma base de S.
( ) Se A \in M_{3 \times 4}, então \operatorname{dim} N(A)=1.
( ) Se A \in M_{3 \times 5}, então \operatorname{dim} N(A) \geq 2.
( ) Se u e v são vetores L.I. de um espaço vetorial, então u e u+v também são L.I…
( ) \operatorname{dim}(S)=3, onde S=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} ; x_{1}+x_{2}-3 x_{3}=0\right\}.
( ) \operatorname{dim}(S)=6, onde S=\left\{A \in M_{3 \times} ; A^{t}=A\right\}.
( ) Se S=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} ; x_{1}+x_{2}-3 x_{3}=0\right\} e S=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} ; x_{1}-2 x_{2}=0\right\}, então \operatorname{dim}\left(S_{1}+S_{2}\right)=3.
( ) Se S=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} ; x_{1}+x_{2}-3 x_{3}=0\right\} e S=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} ; x_{1}-2 x_{2}=0\right\}, então \operatorname{dim}\left(S_{1} \cap S_{2}\right)=1.
( ) Se A, B \in M_{m \times m} e B é inversível, então N(A)=N(B A).
( ) Se A \in M_{m \times n} e B \in M_{n \times p}, então \operatorname{Col}(A B) \subset \operatorname{Col}(A).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado apresenta e o que pede. Temos uma sequência de 12 afirmações, e para cada uma devemos decidir se é verdadeira (V) ou falsa (F).
\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right)\right\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.
\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right)\right\} é base de \mathbb{R}^{3}.
Se S=S_{1}\oplus S_{2} e C e B são bases de S_{1} e S_{2}, respectivamente, então B\cup C é uma base de S.
Se A\in M_{3\times4}, então \dim N(A)=1.
Se A\in M_{3\times5}, então \dim N(A)\ge 2.
Se u e v são vetores linearmente independentes de um espaço vetorial, então u e u+v também são linearmente independentes.
\dim(S)=3, onde S=\{x\in\mathbb{R}^{3};\; x_{1}+x_{2}-3x_{3}=0\}.
\dim(S)=6, onde S=\{A\in M_{3\times 3};\; A^{t}=A\}. (Estou a interpretar M_{3\times} como M_{3\times3}.)
Se S_{1}=\{x\in\mathbb{R}^{3};\; x_{1}+x_{2}-3x_{3}=0\} e S_{2}=\{x\in\mathbb{R}^{3};\; x_{1}-2x_{2}=0\}, então \dim(S_{1}+S_{2})=3.
Com os mesmos S_{1} e S_{2} do item anterior, então \dim(S_{1}\cap S_{2})=1.
Se A,B\in M_{m\times m} e B é inversível, então N(A)=N(BA).
Se A\in M_{m\times n} e B\in M_{n\times p}, então \operatorname{Col}(AB)\subset\operatorname{Col}(A).
Agora vou resolver cada afirmação passo a passo, explicando a teoria necessária para você entender e reproduzir na prova.
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma direta e com exemplos simples):
Definição de base: um conjunto é base de um espaço vetorial se é gerador (spans) e linearmente independente (L.I.). Para \mathbb{R}^{3}, uma coleção de 3 vetores é base se e só se for L.I. (ou equivalentemente, se a matriz formada por esses vetores como colunas tem determinante não nulo).
Teste de L.I. para 3 vetores em \mathbb{R}^{3}: montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se \det\neq 0 então são L.I. e formam base.
Teorema posto-nulo (rank-nullity): para A\in M_{m\times n},
\operatorname{rank}(A)+\dim N(A)=n.
Isto relaciona a dimensão da imagem (colunas independentes) com a dimensão do núcleo (nulos).
Subespaço dado por uma equação linear em \mathbb{R}^{3}: uma única equação linear independente reduz a dimensão em 1. Logo o conjunto de soluções tem dimensão 2 (um plano através da origem).
Espaço das matrizes simétricas n\times n: número de entradas independentes é n(n+1)/2. Para n=3, a dimensão é 3\cdot 4/2=6.
Soma direta S=S_{1}\oplus S_{2}: significa S_{1}\cap S_{2}=\{0\} e S=S_{1}+S_{2}. Então bases de S_1 e S_2 juntas geram S e permanecem L.I.
Sobre \operatorname{Col}(AB): cada coluna de AB é combinação linear das colunas de A (multiplicação por escalares obtidos em B), então \operatorname{Col}(AB)\subseteq\operatorname{Col}(A).
Com essas ferramentas, vamos checar cada afirmação com contas e argumentos.
Passo 3
Afirmação 1: verificar se \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right)\right\}
é base de \mathbb{R}^{3}.
Montamos a matriz M cujas colunas são esses vetores:
Como o determinante é não nulo, os 3 vetores são linearmente independentes e, sendo 3 vetores em \mathbb{R}^{3}, formam uma base. Conclusão: afirmação 1 é verdadeira.]
Passo 4
Afirmação 2: verificar se \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right)\right\}
é base de \mathbb{R}^{3}.
Determinante zero significa que os vetores são linearmente dependentes, logo não formam base de \mathbb{R}^{3}. Conclusão: afirmação 2 é falsa.]
Passo 5
Afirmação 3: se S=S_{1}\oplus S_{2} e C e B são bases de S_{1} e S_{2}, então B\cup C é base de S.
Explicação: por definição de soma direta temos S=S_{1}+S_{2} e S_{1}\cap S_{2}=\{0\}. A união das bases B e C gera S porque todo vetor em S é soma de um vetor em S_{1} e outro em S_{2}, e cada parte é combinação linear dos elementos das respetivas bases. Resta ver linear independência: uma combinação linear que anula a união separam-se em combinações nas subespaços S_{1} e S_{2} cuja soma dá zero; pela unicidade da decomposição (garantida pela interseção nula) cada combinação tem de ser zero, portanto os coeficientes são todos zero. Logo B\cup C é L.I. e gera S, ou seja, é base. Conclusão: afirmação 3 é verdadeira.
Passo 6
Afirmação 4: se A\in M_{3\times4}, então \dim N(A)=1.
Usando rank-nullity para A\in M_{3\times4} (matriz com 3 linhas e 4 colunas),
\operatorname{rank}(A)+\dim N(A)=4.
Como \operatorname{rank}(A)\le 3, temos \dim N(A)=4-\operatorname{rank}(A)\ge 4-3=1. Ou seja, \dim N(A) é pelo menos 1, mas pode ser maior (por exemplo, se A for a matriz zero então \operatorname{rank}(A)=0 e \dim N(A)=4). Portanto a afirmação que diz que \dim N(A)=1 sempre vale é falsa. Conclusão: afirmação 4 é falsa.
Passo 7
Afirmação 5: se A\in M_{3\times5}, então \dim N(A)\ge 2.
Aplicando rank-nullity para A\in M_{3\times5}:
\operatorname{rank}(A)+\dim N(A)=5,
e \operatorname{rank}(A)\le 3 (máximo igual ao número de linhas). Logo
\dim N(A)=5-\operatorname{rank}(A)\ge 5-3=2.
Portanto sempre \dim N(A)\ge 2. Conclusão: afirmação 5 é verdadeira.
Passo 8
Afirmação 6: se u e v são vetores linearmente independentes, então u e u+v são linearmente independentes.
Prova elementar: suponha que existam escalares \alpha,\beta tais que
\alpha u + \beta (u+v)=0.
Reescrevendo,
(\alpha+\beta)u + \beta v = 0.
Como u e v são L.I., os coeficientes na combinação linear que dá zero obrigatoriamente são zero. Assim \beta=0 e \alpha+\beta=0 implica \alpha=0. Então \alpha=\beta=0, logo u e u+v são L.I. Conclusão: afirmação 6 é verdadeira.
Passo 9
Afirmação 7: \dim(S)=3 para
S=\{x\in\mathbb{R}^{3};\; x_{1}+x_{2}-3x_{3}=0\}.
Um único equação linear homogênea não-trivial em \mathbb{R}^{3} define um plano através da origem, que tem dimensão 2. Podemos ver parametrizando: escreva x_{1}=-x_{2}+3x_{3}. Tomando parâmetros s=x_{2} e t=x_{3},
x=\begin{pmatrix} -s+3t \\[4pt] s \\[4pt] t \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}3\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},
mostrando que S tem dimensão 2. Portanto a afirmação que diz \dim(S)=3 é falsa. Conclusão: afirmação 7 é falsa.]
Passo 10
Afirmação 8: \dim(S)=6 onde
S=\{A\in M_{3\times 3};\; A^{t}=A\}.
Explicação: matrizes simétricas 3\times 3 têm entradas livres na diagonal (3 entradas) e nas posições acima da diagonal (mais 3), pois as posições abaixo da diagonal são determinadas por simetria. Assim o número total de graus de liberdade é
\frac{3(3+1)}{2}=6.
Logo \dim(S)=6. (A afirmação é verdadeira, usando a interpretação M_{3\times 3}.) Conclusão: afirmação 8 é verdadeira.
Primeiro, \dim S_{1}=2 (já visto no Passo 9) e \dim S_{2}=2 porque S_{2} é solução de uma equação linear independente em \mathbb{R}^{3} (parametrizável por dois parâmetros, por exemplo x_{2} e x_{3}, com x_{1}=2x_{2}). Agora usamos a fórmula
Da segunda equação x_{1}=2x_{2}\]. Substituindo na primeira:
\[2x_{2}+x_{2}-3x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad 3x_{2}-3x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=x_{3}.\]
Então vetores da interseção têm a forma
\[x=(2t,t,t)=t\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},\]
o que mostra que \(\dim(S_{1}\cap S_{2})=1. Assim
\dim(S_{1}+S_{2})=2+2-1=3.
Portanto a afirmação 9 é verdadeira.]
Passo 12
Afirmação 10: com os mesmos S_{1} e S_{2}, então \dim(S_{1}\cap S_{2})=1.
Isso já foi calculado no passo anterior: a interseção é o subespaço gerado por \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, então dimensão 1. Conclusão: afirmação 10 é verdadeira.
Passo 13
Afirmação 11: se A,B\in M_{m\times m} e B é inversível, então N(A)=N(BA).
Demonstração: primeiro, se x\in N(A) então Ax=0. Multiplicando por B dá BAx=B0=0, então x\in N(BA). Assim N(A)\subseteq N(BA).
Para a inclusão inversa, suponha x\in N(BA). Então BAx=0. Multiplique à esquerda por B^{-1} (existe porque B é inversível) e obtenha Ax = B^{-1}0 = 0. Logo x\in N(A). Assim N(BA)\subseteq N(A).
Portanto N(A)=N(BA). Conclusão: afirmação 11 é verdadeira.
Passo 14
Afirmação 12: se A\in M_{m\times n} e B\in M_{n\times p}, então \operatorname{Col}(AB)\subset\operatorname{Col}(A).
Justificação prática: cada coluna de AB é da forma A multiplicado por uma coluna de B. Seja b_{j} a j-ésima coluna de B. Então a j-ésima coluna de AB é A b_{j}, que é combinação linear das colunas de A. Portanto cada coluna de AB pertence à coluna de espaço gerado pelas colunas de A. Assim \operatorname{Col}(AB)\subseteq\operatorname{Col}(A). Conclusão: afirmação 12 é verdadeira.