As perguntas são:
(a) Encontrar uma base para N(A)+\operatorname{Lin}(B).
(b) Encontrar uma base para N(A)\cap N(B).
Informações relevantes dadas:
N(A)=\{x\in\mathbb{R}^4\mid A x=0\} é o espaço nulo de A (vetores coluna em \mathbb{R}^4).
\operatorname{Lin}(B) aqui significa o espaço gerado pelas linhas de B (cada linha é um vetor em \mathbb{R}^4).
N(B)=\{x\in\mathbb{R}^4\mid B x=0\} é o espaço nulo de B.
Passo 2
Vamos encontrar N(A)\). Escrevemos \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\) e impomos \(A x=0\), isto é o sistema
\[\begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 + 2x_4 = 0,\\[4pt] - x_1 + x_2 + x_3 = 0. \end{cases}
Explico a técnica: resolvemos as equações simultâneas, escolhemos variáveis livres e escrevemos a solução em forma paramétrica para extrair uma base do espaço nulo.
Substituindo x_3=-x_4\] na segunda equação:
\[- x_1 + x_2 - x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = x_2 - x_4.\]
Escolhemos \(x_2 e x_4 como parâmetros livres: escreva s=x_2 e t=x_4. Então
x = (x_1,x_2,x_3,x_4) = (s-t,\; s,\; -t,\; t).
Escrevendo como combinação linear:
x = s(1,1,0,0) + t(-1,0,-1,1).
Portanto uma base de N(A) é formada pelos vetores
\boxed{v_1=(1,1,0,0),\qquad v_2=(-1,0,-1,1).}
Comentário didático: escolhemos os parâmetros de forma a obter vetores sem frações; esses vetores geram todo N(A) e são linearmente independentes.]
Passo 3
Agora encontramos N(B)\). Com \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\) o sistema \(B x=0\) dá
\[\begin{cases} 2x_3 + 2x_4 = 0,\\[4pt] x_1 + 2x_2 - x_4 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x_3 + x_4 = 0\], ou \(x_3 = -x_4. Da segunda, x_1 = -2x_2 + x_4.
Escolhendo x_2=u e x_4=v como parâmetros livres,
x = (-2u+v,\; u,\; -v,\; v) = u(-2,1,0,0) + v(1,0,-1,1).
Logo uma base de N(B) é
\boxed{w_1=(-2,1,0,0),\qquad w_2=(1,0,-1,1).}]
Passo 4
Determinamos \operatorname{Lin}(B), o espaço gerado pelas linhas de B. As linhas de B são
r_1=(0,0,2,2),\qquad r_2=(1,2,0,-1).
Explico: como as linhas têm dimensão 4 (são vetores em \mathbb{R}^4), \operatorname{Lin}(B)=\operatorname{span}\{r_1,r_2\}. Verificamos se r_1 e r_2 são linearmente independentes: se \alpha r_1+\beta r_2=0 então, pela primeira coordenada, \beta=0; pela terceira coordenada, 2\alpha=0\Rightarrow\alpha=0. Logo são independentes.
Portanto uma base de \operatorname{Lin}(B) é
\boxed{r_1=(0,0,2,2),\qquad r_2=(1,2,0,-1).}
Passo 5
Agora vamos obter N(A)+\operatorname{Lin}(B). Lembrete didático: a soma de subespaços U+W é o conjunto \{u+w\mid u\in U,\; w\in W\}; uma maneira prática de achar uma base para U+W é pegar as bases de U e de W juntas e extrair uma subconjunto linearmente independente que gere o mesmo espaço (fazemos redução de linhas/colunas).
Juntamos os quatro vetores geradores que obtivemos:
Vamos verificar a independência linear desses vetores montando-os como linhas e aplicando operações elementares (mostro as etapas para que você aprenda a checar independência):
Colocando-os em uma matriz (cada vetor é uma linha):
Agora todas as quatro linhas são não-nulas; isto mostra que as quatro linhas originais são linearmente independentes. Assim o espaço gerado por esses quatro vetores tem dimensão 4, ou seja, é todo \mathbb{R}^4.
Conclusão: N(A)+\operatorname{Lin}(B)=\mathbb{R}^4. Como base podemos escolher a base canônica de \mathbb{R}^4 (ou os próprios quatro vetores que mostramos, que também são uma base). Para simplicidade, usamos a base canônica:
Agora calculamos [N(A)\cap N(B)). Técnica: escrevemos um vetor genérico de N(A) com parâmetros e igualamos a um vetor genérico de N(B); resolvemos as equações para os parâmetros.
De Passo 2 temos o vetor genérico de N(A):
x = s(1,1,0,0) + t(-1,0,-1,1) = (s-t,\; s,\; -t,\; t).
De Passo 3 temos o vetor genérico de N(B):
x = u(-2,1,0,0) + v(1,0,-1,1) = (-2u+v,\; u,\; -v,\; v).
Igualando componente a componente:
\begin{cases} s - t = -2u + v,\\[4pt] s = u,\\[4pt] - t = - v,\\[4pt] t = v. \end{cases}
Das segundas e terceiras equações obtemos u=s\] e \(v=t. Substituindo em a primeira:
s - t = -2s + t \quad\Rightarrow\quad 3s = 2t \quad\Rightarrow\quad t = \tfrac{3}{2}s.
Tomando s como parâmetro livre \alpha, t=\tfrac{3}{2}\alpha. Então um vetor genérico do núcleo comum é
x = \alpha\Big(1,1,0,0\Big) + \tfrac{3}{2}\alpha\Big(-1,0,-1,1\Big) = \alpha\Big(-\tfrac{1}{2},\; 1,\; -\tfrac{3}{2},\; \tfrac{3}{2}\Big).
Multiplicando por 2 para evitar frações, obtemos que todos os vetores de N(A)\cap N(B) têm a forma
\beta\;(-1,2,-3,3),\qquad \beta\in\mathbb{R}.
Portanto N(A)\cap N(B) é uma reta (dimensão 1) e uma base é