Encontre uma base do complemento ortogonal W^perp de W para os itens abaixo.
W o subespaço de M 2,2 gerado por A1=(ll1 & 0 0 & 0), A2=(ll0 & 1 0 & 0) e A3=(ll0 & 0 1 & 0).

Passo 1

O enunciado pede uma base do complemento ortogonal W^perp de
W = spanA1,A2,A3subset M2,2,
onde
A1=1&00&0, A2=0&10&0, A3=0&01&0
O espaço W^perp é dado pelos BinM2,2 tais que
lang<= Ai,Brang<= = 0para i=1,2,3,
onde usamos o produto interno usual lang<= X,Yrang<= = tr(X^TY).

Passo 2

Escrevemos um elemento genérico
Então, para cada ,
é simplesmente o produto escalar das entradas coincidentes.

Passo 3

Calculamos:
Logo as condições de ortogonalidade são
sem restrição sobre .

Passo 4

Daí
B=0&00&b22 = b220&00&1
Portanto
W^perp = spanl0&00&1r

Resposta

Uma base de W^perp é
l0&00&1r

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