Encontre uma base do subespaço W do R^4 ortogonal a u1=(1,-2,3,4) e u2=(3,-5,7,8).

Passo 1

O enunciado pede uma base do subespaço WsubsetR^4 ortogonal a
u1=(1,-2,3,4), u2=(3,-5,7,8)
Isto significa
W = xinR^4 mid xcdot u1=0,;xcdot u2=0
O conteúdo envolvido é complemento ortogonal e solução de sistemas lineares homogêneos por eliminação de Gauss.

Passo 2

Seja x=(x1,x2,x3,x4). As condições xcdot u1=0 e xcdot u2=0 viram o sistema
x1-2x2+3x3+4x4=0, 3x1-5x2+7x3+8x4=0

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos:
[cccc|c 1 & -2 & 3 & 4 & 0 3 & -5 & 7 & 8 & 0 ] ;xrightarrow;L2-3L1;; [cccc|c 1 & -2 & 3 & 4 & 0 0 & 1 & -2 & -4 & 0 ]

Passo 4

As equações equivalentes são
x1-2x2+3x3+4x4=0, x2-2x3-4x4=0
Da segunda vem
x2=2x3+4x4,
e da primeira
x1=2x2-3x3-4x4 =2(2x3+4x4)-3x3-4x4 =x3+4x4

Passo 5

Escolhendo parâmetros livres s=x3 e t=x4, temos
x=(x1,x2,x3,x4) = (s+4t,;2s+4t,;s,;t) = s,(1,2,1,0)+t,(4,4,0,1)
Logo uma base de W é formada pelos vetores (1,2,1,0) e (4,4,0,1).

Resposta

(1,2,1,0),;(4,4,0,1)

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