Encontre uma base do complemento ortogonal W^perp de W para os itens abaixo.
W o subespaço de R^3 gerado por u=(-1,0,1, ) e v=(2,4,-1).

Passo 1

O enunciado pede uma base de W^perp, onde WsubsetR^3 é gerado por
u = (-1,0,1), v = (2,4,-1)
O conteúdo envolvido é produto escalar e resolução de sistema linear para achar o complemento ortogonal de um subespaço.

Passo 2

Um vetor x=(x1,x2,x3) pertence a W^perp se e somente se ele for ortogonal a u e a v, isto é,
xcdot u = 0 e xcdot v = 0

Passo 3

Escrevendo as equações do produto escalar:
xcdot u = -x1 + 0cdot x2 + x3 = 0 Longrightarrow x3 = x1,
xcdot v = 2x1 + 4x2 - x3 = 0
Substituindo x3 = x1 na segunda,
2x1 + 4x2 - x1 = 0 Longrightarrow x1 + 4x2 = 0 Longrightarrow x1 = -4x2,
logo x3 = -4x2.

Passo 4

Definindo t = x2, obtemos
x = (x1,x2,x3) = (-4t,;t,;-4t) = t,(-4,1,-4)
Isso mostra que W^perp é uma reta em R^3 e basta um vetor gerador.

Resposta

Uma base de W^perp é
,(-4,1,-4)

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