Verifique se as relações abaixo são ou não Produtos Internos.
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(t) q(t) d t, onde p, q são vetores do espaço vetorial P dos polinômios de grau até n.

Passo 1

O enunciado define, para p,q em P (polinômios de grau <= n), a forma
lang<= p,qrang<= ;=;integral0^1p(t),q(t),dt
e pede para verificar se isso é um produto interno. Vamos checar as três propriedades: bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Bilinearidade em relação ao primeiro argumento: dados escalar a,b e polinômios p,r,q,
lang<= a,p + b,r,;qrang<= =integral0^1l(a,p(t)+b,r(t)r)q(t),dt =aintegral0^1p(t)q(t),dt +bintegral0^1r(t)q(t),dt =a,lang<= p,qrang<= + b,lang<= r,qrang<=
Logo é bilinear.

Passo 3

Simetria:
lang<= p,qrang<= =integral0^1p(t)q(t),dt =integral0^1q(t)p(t),dt =lang<= q,prang<=

Passo 4

Positividade definida: para todo pin P,
lang<= p,prang<= =integral0^1l(p(t)r)^2,dt;>=0
Se lang<= p,prang<==0, então l(p(t)r)^2=0 quase em todo tin[0,1]. Como p é polinômio, isso força pequiv0.

Resposta

A relação
lang<= p,qrang<==integral0^1p(t),q(t),dt
é de fato um produto interno em P.

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