Verifique se as relações abaixo são ou não Produtos Internos.
, onde
são vetores do espaço vetorial
dos polinômios de grau até
.
Passo 1
O enunciado define, para
em
(polinômios de grau
), a forma
e pede para verificar se isso é um produto interno. Vamos checar as três propriedades: bilinearidade, simetria e positividade definida.
Passo 2
Bilinearidade em relação ao primeiro argumento: dados escalar
e polinômios
,
Logo é bilinear.
Passo 3
Simetria:
Passo 4
Positividade definida: para todo
,
Se
, então
quase em todo
. Como
é polinômio, isso força
.
Resposta
A relação
é de fato um produto interno em
.