Encontre uma base e a dimensão para cada espaço vetorial seguinte:
Passo 1
O enunciado nos pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço vetorial
.
Aqui vamos usar conceitos de subespaço, base (geradores e independência linear) e dimensão.
Aqui vamos usar conceitos de subespaço, base (geradores e independência linear) e dimensão.
Passo 2
A condição
implica que todo vetor desse subespaço pode ser escrito como
para algum
. Logo,
Isto mostra que o subespaço é gerado por
.
Passo 3
Para verificar que
é independente linearmente, observamos que
gera o sistema
, de onde segue
. Portanto, não há combinação linear não trivial que anule
.
Passo 4
Como
gera todo o subespaço e é independente, ela forma uma base. Além disso, essa base tem exatamente um vetor, logo a dimensão do subespaço é 1.
Resposta
Base:
Dimensão:
Dimensão: