Encontre uma base e a dimensão para cada espaço vetorial seguinte:
(x, y, z) in R^3 ; x=y=z

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço vetorial
(x,y,z)in R^3 mid x=y=z.
Aqui vamos usar conceitos de subespaço, base (geradores e independência linear) e dimensão.

Passo 2

A condição x=y=z implica que todo vetor desse subespaço pode ser escrito como (t,t,t) para algum tinR. Logo,
(x,y,z) = (t,t,t) = t,(1,1,1)
Isto mostra que o subespaço é gerado por (1,1,1).

Passo 3

Para verificar que (1,1,1) é independente linearmente, observamos que
alpha,(1,1,1) = (0,0,0)
gera o sistema (alpha,alpha,alpha)=(0,0,0), de onde segue alpha=0. Portanto, não há combinação linear não trivial que anule (1,1,1).

Passo 4

Como (1,1,1) gera todo o subespaço e é independente, ela forma uma base. Além disso, essa base tem exatamente um vetor, logo a dimensão do subespaço é 1.

Resposta

Base: (1,1,1)
Dimensão: 1

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