Verifique se B é subanel de A
A=(Z,+, cdot) e B=3 Z=3 k ; k in Z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para verificar se o conjunto B = 3Z = 3k ; k in Z é um subanel de A = (Z, +, cdot) . Basicamente, queremos saber se B mantém todas as propriedades de um anel dentro de A . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subanel e verificar algumas condições específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que possui duas operações: adição (+) e multiplicação (·). Para um conjunto ser um subanel, ele precisa ser fechado em relação a essas operações e conter o elemento neutro da adição (que é 0).

Passo 3

Então, a primeira coisa que vamos checar é se B é fechado em relação à adição. Isso significa que, se você pegar dois elementos de B e somar, o resultado também deve estar em B .
Vamos supor que temos dois elementos de B : 3k e 3m , onde k e m são números inteiros. A soma deles é:
3k + 3m = 3(k + m)
Como k + m é um inteiro, 3(k + m) também pertence a B . Então, B é fechado em relação à adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar se B contém o elemento neutro da adição, que é 0. Se colocarmos k = 0 na expressão 3k , temos:
3 times 0 = 0
Então, 0 pertence a B . Isso satisfaz a condição de conter o elemento neutro da adição.

Passo 5

O próximo passo é verificar se B é fechado em relação à multiplicação. Isso significa que, se você multiplicar dois elementos de B , o resultado também deve estar em B .
Vamos multiplicar dois elementos de B : 3k e 3m . A multiplicação deles é:
3k times 3m = 9km = 3(3km)
Novamente, como 3km é um inteiro, 3(3km) também pertence a B . Portanto, B é fechado em relação à multiplicação.

Passo 6

Finalmente, vamos resumir o que verificamos:
  1. B é fechado em relação à adição.
  2. B contém o elemento neutro da adição (0).
  3. B é fechado em relação à multiplicação.
Como todas essas condições são satisfeitas, podemos concluir que B é realmente um subanel de A .

Resposta

Sim, B = 3Z é um subanel de A = (Z, +, cdot) .

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