Encontre uma base e a dimensão do conjunto solução dos seguintes sistemas:
lx+2 y-2 z-t=0 x+y+z+t=0 x+2 y+3 z+2 t=0 ;

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo de quatro incógnitas
x+2y-2z-t=0, x+y+z+t=0, x+2y+3z+2t=0
O conteúdo é Álgebra Linear (núcleo de uma aplicação linear) e vamos usar eliminação de Gauss para expressar as variáveis em função dos graus de liberdade.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes e aplicamos eliminação de Gauss (sem o vetor de termos livres, pois é homogêneo):
1 & 2 & -2 & -1 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 2
Subtraindo a primeira linha das outras duas, obtemos
1 & 2 & -2 & -1 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 5 & 3

Passo 3

Das últimas equações temos
5z+3t=0implies z=-35t,
-y+3z+2t=0implies y=3z+2t=3l(-35tr)+2t=15t,
e da primeira
x+2y-2z-t=0implies x=-2y+2z+t=-2l(tfrac15tr)+2l(-tfrac35tr)+t=-35t

Passo 4

Como só t é livre, chamamos t=s. Logo
(x,y,z,t)=l(-tfrac35s,;tfrac15s,;-tfrac35s,;sr) =sl(-tfrac35,;tfrac15,;-tfrac35,;1r)
Para eliminar frações, ponha s=5u, obtendo
(x,y,z,t)=u(-3,1,-3,5)
Daí o espaço solução é gerado por um único vetor.

Resposta

Uma base é (-3,1,-3,5) e a dimensão do espaço solução é 1.

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