• Questão 7: Seja W o subespaço vetorial de M(2 times 2) dado por
W=[ll a & b c & d ] ; a=d e c=a+b
a) Qual a dimensão de W?
b) O conjunto [cc1 & -1 0 & 1] ;[ll2 & 1 3 & 4] é uma base de W? Por quê?

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = a & b c & din M2times2 ;midd<=|; a = d,; c = a + b,
pede (a) a dimensão de W e (b) se o conjunto
1 & -1 0 & 1,;2 & 1 3 & 4
é uma base de W. O conteúdo é teoria de subespaços, dimensão e base em álgebra linear.

Passo 2

Para achar dim W, note que M2times2 tem dimensão 4 e W é definido por duas equações lineares independentes:
  1. a - d = 0
  2. c - a - b = 0.
    Logo
dim W = 4 - 2 = 2

Passo 3

Vejamos uma parametrização: escolhemos a e b livres, então
d = a, c = a + b,
e cada elemento de W é
a & b a+b & a = aunderbrace1 & 0 1 & 1E1 + bunderbrace0 & 1 1 & 0E2
Os vetores E1,E2 são LI e geram W, confirmando dim W=2.

Passo 4

Testamos as matrizes dadas:
A = 1 & -1 0 & 1, B = 2 & 1 3 & 4
Para A: a=1,d=1 e c=0=1+(-1), logo Ain W.
Para B: a=2,d=4, aqui dneq a, então Bnotin W.

Passo 5

Como uma base de W de dimensão 2 precisa conter apenas vetores de W, o conjunto falha já na etapa de pertencimento. Portanto não pode ser base.

Resposta

(a) dim W = 2
(b) Não, pois a segunda matriz não satisfaz d=a e assim não pertence a W.

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