- Questão 7: Seja W o subespaço vetorial de
dado por
a) Qual a dimensão de W?
b) O conjunto
é uma base de W? Por quê?
b) O conjunto
Passo 1
O enunciado define o subespaço
pede (a) a dimensão de
W e (b) se o conjunto
é uma base de
W . O conteúdo é teoria de subespaços, dimensão e base em álgebra linear.
Passo 2
Para achar
dim W , note que
M2times2 tem dimensão 4 e
W é definido por duas equações lineares independentes:
-
a - d = 0 -
.c - a - b = 0
Logo
Passo 3
Vejamos uma parametrização: escolhemos
a e
b livres, então
e cada elemento de
W é
Os vetores
E1,E2 são LI e geram
W , confirmando
dim W=2 .
Passo 4
Testamos as matrizes dadas:
Para
A :
a=1,d=1 e
c=0=1+(-1) , logo
Ain W .
ParaB :
a=2,d=4 , aqui
dneq a , então
Bnotin W .
Para
Passo 5
Como uma base de
W de dimensão 2 precisa conter apenas vetores de
W , o conjunto falha já na etapa de pertencimento. Portanto não pode ser base.
Resposta
(a)
dim W = 2
(b) Não, pois a segunda matriz não satisfazd=a e assim não pertence a
W .
(b) Não, pois a segunda matriz não satisfaz