Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Abaixo do plano x+4 y+z=12 e acima do disco com círculo limite x^2+y^2=y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está abaixo do plano
x + 4y + z = 12
e acima do disco planar cujo limite é o círculo
x^2 + y^2 = y
O conteúdo é mudança para coordenadas polares, vamos: (1) descrever a região no plano xy em polares, (2) reescrever o plano e diferencial de área, (3) montar e calcular a integral dupla.

Passo 2

Na coordenadas polares x = rcostheta, y = rsintheta o círculo
x^2 + y^2 = y
vira
r^2 = rsintheta Longrightarrow r = 0 ou r = sintheta
Como queremos r>=0 e sintheta>=0, seguimos com
0 <= r <= sintheta, 0 <= theta <= pi

Passo 3

O plano dado é
z = 12 - x - 4y = 12 - rcostheta - 4rsintheta
Em polares o elemento de área é dA = r,dr,dtheta. Logo o volume é
V = integral duplaD (12 - x - 4y),dA = integral0^pi!integral0^sinthetal(12 - rcostheta - 4rsinthetar),r,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^sinthetal(12r - r^2costheta - 4r^2sinthetar),dr = l[6r^2 - tfraccostheta3r^3 - tfrac4sintheta3r^3r]0^sintheta = 6sin^2theta - costheta,sin^3theta3 - 4sin^4theta3

Passo 5

Agora integramos em theta:
V = integral0^pi!l(6sin^2theta - tfraccostheta,sin^3theta3 - tfrac4sin^4theta3r),dtheta
Usamos as fórmulas conhecidas
integral0^pisin^2theta,dtheta = pi2, integral0^picostheta,sin^3theta,dtheta = 0, integral0^pisin^4theta,dtheta = 3pi8
Substituindo,
V = 6cdotpi2 - 13cdot0 - 43cdot3pi8 = 3pi - pi2 = 5pi2

Resposta

V = 5pi2

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