Encontre uma base e a dimensão do conjunto solução dos seguintes sistemas:
lx+y-2 z+t=0 2 x+2 y-4 z+2 t=0

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo em quatro variáveis
x+y-2z+t=0, 2x+2y-4z+2t=0,
e pede uma base e a dimensão do espaço das soluções. O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss e uso do Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo) para sistemas homogêneos.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes e reduzimos por linhas:
A= 1 & 1 & -2 & 1 2 & 2 & -4 & 2
Fazendo L2>=ts L2-2L1 chega-se a
1 & 1 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 0
Logo rank(A)=1.

Passo 3

Pelo Teorema da Dimensão, a dimensão do espaço solução (núcleo de A) é
dimker(A)=n-rank(A)=4-1=3

Passo 4

Para achar uma base, parametrizamos as variáveis livres. Da primeira equação isolamos
x=-y+2z-t
Escolhemos
y=s, z=u, t=v
como parâmetros. Então
(x,y,z,t)=(-s+2u-v,;s,;u,;v) =s(-1,1,0,0)+u(2,0,1,0)+v(-1,0,0,1)

Resposta

Uma base do espaço solução é
,(-1,1,0,0),;(2,0,1,0),;(-1,0,0,1),
e a dimensão desse espaço é 3.

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