Encontre uma base e a dimensão do conjunto solução dos seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado dá um sistema homogêneo em quatro variáveis
x+y-2z+t=0, 2x+2y-4z+2t=0,
e pede uma base e a dimensão do espaço das soluções. O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss e uso do Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo) para sistemas homogêneos.
Passo 2
Escrevemos a matriz de coeficientes e reduzimos por linhas:
A= 1 & 1 & -2 & 1 2 & 2 & -4 & 2
Fazendo L2>=ts L2-2L1 chega-se a
1 & 1 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 0
Logo rank(A)=1.
Passo 3
Pelo Teorema da Dimensão, a dimensão do espaço solução (núcleo de A) é
dimker(A)=n-rank(A)=4-1=3
Passo 4
Para achar uma base, parametrizamos as variáveis livres. Da primeira equação isolamos