Encontre uma base e a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo
2 x1+2 x2-x3+x5 & =0 -x1-x2+2 x3-3 x4+x5 & =0 x1+x2-2 x3-x5 & =0 x3+x4+x5 & =0

Passo 1

O enunciado pede o espaço solução (núcleo) de um sistema homogêneo de quatro equações em cinco variáveis. O conteúdo principal é aplicação do método de eliminação de Gauss para encontrar a forma escalonada reduzida, identificar variáveis livres e expressar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes e aplicamos operações de linha. Inicialmente, em ordem de linhas:
2 & 2 & -1 & 0 & 1 -1 & -1 & 2 & -3 & 1 1 & 1 & -2 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 1 & 1
Trocamos a primeira e a terceira linha para ter pivô 1 na posição (1,1), e então eliminamos abaixo e acima desse pivô, obtendo gradualmente zeros nas colunas correspondentes.

Passo 3

Após escalonamento total e normalização dos pivôs, chegamos à forma
1 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Os pivôs aparecem em ,x1, ,x3 e ,x4. Logo, x2 e x5 são variáveis livres. Denotemos
x2 = s, x5 = t, s,tinR

Passo 4

Das três equações não-triviais temos
x1 + x2 + x5 = 0, x3 + x5 = 0, x4 = 0
Substituindo x2=s e x5=t resulta
x1 = -s - t, x3 = -t, x4 = 0
Assim a solução geral é
(x1,x2,x3,x4,x5) = s,(-1,1,0,0,0);+;t,(-1,0,-1,0,1)

Resposta

Uma base do espaço solução é
,(-1,1,0,0,0),;(-1,0,-1,0,1),
e a dimensão desse espaço é 2.

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