Exercício 31 (Considerem-se os planos
e
com as respectivas equações cartesianas
e
.
31.1 Mostrar que os planos
e
não são paralelos. Determinar uma representação paramétrica da reta
, interseção dos dois planos.
31.1 Mostrar que os planos
Passo 1
O enunciado dá dois planos em
,
e
, e pede para mostrar que eles não são paralelos e, em seguida, determinar a reta
em forma paramétrica. Vamos usar as normas dos planos para testar paralelismo e depois resolver o sistema de equações para obter a parametrização da reta de interseção.
Passo 2
Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais forem proporcionais. \r
O vetor normal de é \r
, \r
e o de é \r
. \r
Para serem proporcionais, deveria existir tal que \r
. \r
Mas não há que satisfaça simultaneamente
e
, logo
. \r
Portanto os planos não são paralelos e têm interseção em uma reta.
O vetor normal de
e o de
Para serem proporcionais, deveria existir
Mas não há
Portanto os planos não são paralelos e têm interseção em uma reta.
Passo 3
Para achar a reta \r
Como há duas equações em três incógnitas, escolhemos um parâmetro, digamos : \r
Da primeira equação vem \r
Substituindo em
,\r
Logo a parametrização é\r
Em forma vetorial, podemos escrever\r
Resposta
A reta de interseção
é dada por\r