Exercício 31 (Considerem-se os planos (P1) e (P2) com as respectivas equações cartesianas (P1): x+2 y=5 e (P2): x+y+z=3.
31.1 Mostrar que os planos (P1) e (P2) não são paralelos. Determinar uma representação paramétrica da reta (R)=(P1) cap (P2), interseção dos dois planos.

Passo 1

O enunciado dá dois planos em R^3,
(P1): x + 2y = 5 e (P2): x + y + z = 3 , e pede para mostrar que eles não são paralelos e, em seguida, determinar a reta (R) = P1 cap P2 em forma paramétrica. Vamos usar as normas dos planos para testar paralelismo e depois resolver o sistema de equações para obter a parametrização da reta de interseção.

Passo 2

Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais forem proporcionais. \r
O vetor normal de P1 é \r
;n1=(1,2,0), \r
e o de P2 é \r
;n2=(1,1,1). \r
Para serem proporcionais, deveria existir lambda tal que \r
;(1,2,0)=lambda(1,1,1). \r
Mas não há lambda que satisfaça simultaneamente 2=lambda e 0=lambda, logo n1nparal<=l n2. \r
Portanto os planos não são paralelos e têm interseção em uma reta.

Passo 3

Para achar a reta \r
Como há duas equações em três incógnitas, escolhemos um parâmetro, digamos : \r
. \r
Da primeira equação vem \r
\r
Substituindo em ,\r
\r
Logo a parametrização é\r
\r
Em forma vetorial, podemos escrever\r

Resposta

A reta de interseção (R) é dada por\r
;(x,y,z)=(5-2t,;t,;t-2), tin R

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