Exercício 34 (Retas e planos associados) Considerem-se as retas com equações paramétricas
34.2 Determinar uma equação geral do plano (P1) que contém a reta (R1) e é paralelo à reta (R2). Determinar uma equação geral do plano (P2) que contém a reta (R2) e é paralelo à reta (R1). Deduzir que as retas (R1) e ( R2) não são concorrentes.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em R^3: (R1)colon x=1+s,;y=1+2s,;z=-3-s e (R2)colon x=2t,;y=-4+t,;z=2+3t.
Pede-se um plano (P1) que contenha (R1) e seja paralelo a (R2), e um plano (P2) que contenha (R2) e seja paralelo a (R1).
Sabendo que um plano é determinado por um ponto e dois vetores diretores, e que seu vetor normal é o produto vetorial desses vetores, vamos escolher como vetores diretores os vetores de direção de (R1) e de (R2).
Passo 2
Os vetores diretores são
v1=(1,2,-1)(de (,R1)), v2=(2,1,3)(de (,R2))
O vetor normal comum a ambos os planos será
n ;=;v1times v2 ;=; i&j&k 1&2&-1 2&1&3 ;=;(7,,-5,,-3)
Passo 3
Para (P1) usamos o ponto P0=(1,1,-3) de (R1) e o normal n=(7,-5,-3).
A equação vetorial é ncdotl((x,y,z)-P0r)=0, ou seja
7(x-1);-;5(y-1);-;3(z+3);=;0
Expandindo, fica
7x -5y -3z -11 = 0
Passo 4
Para (P2) usamos o ponto Q0=(0,-4,2) de (R2) e o normal oposto -n=(-7,5,3) (pode-se usar também n trocando o sinal final).
A equação é
Como (R1)subset (P1) e a direção de (R2) é paralela a (P1), a reta (R2) ou está contida em (P1) ou não o intersecta. Verificando que o ponto Q0=(0,-4,2) não satisfaz 7x-5y-3z-11=0, concluímos que (R2)paral<=l (P1) mas não está em (P1). Portanto (R1) e (R2) não têm ponto em comum, isto é, não são concorrentes.
Resposta
(P1)colon 7x -5y -3z -11=0, (P2)colon 7x -5y -3z -14=0,
e as retas (R1) e (R2) são não concorrentes.