Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.
r x1-4 x2+3 x3-x4=0 2 x1-8 x2+6 x3-2 x4=0

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo
x1-4x2+3x3-x4=0, 2x1-8x2+6x3-2x4=0,
e pede uma base do espaço solução e sua dimensão. O conteúdo é Álgebra Linear, e vamos usar redução de linhas para encontrar o posto do sistema e parametrizar as variáveis livres.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes e aplicamos operações de linha:
Como restou apenas uma equação não nula, o posto é .

Passo 3

Da única equação não nula tiramos
x1-4x2+3x3-x4=0 Longrightarrow x1=4x2-3x3+x4
Escolhendo variáveis livres x2=s,;x3=t,;x4=u, o vetor solução genérico fica
(x1,x2,x3,x4) =(4s-3t+u,;s,;t,;u)

Passo 4

Escrevendo em forma linear independente, obtemos
(x1,x2,x3,x4) =s,(4,1,0,0)+t,(-3,0,1,0)+u,(1,0,0,1)
Logo uma base do espaço solução é (4,1,0,0),,(-3,0,1,0),,(1,0,0,1).

Resposta

A base do espaço solução é
(4,1,0,0),;(-3,0,1,0),;(1,0,0,1)
e a dimensão desse espaço é 3.

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