Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.
l 3 x1+x2+x3+x4=0 5 x1-x2+x3-x4=0

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de duas equações lineares em quatro incógnitas x1,x2,x3,x4. Queremos achar uma base do espaço solução e a sua dimensão. Para isso vamos usar eliminação de Gauss (combinações lineares das equações) e depois parametrizar a solução.

Passo 2

Somando as duas equações temos
(3x1+x2+x3+x4) + (5x1-x2+x3-x4) = 0 ;Longrightarrow; 8x1+2x3=0
que simplifica para
4x1+x3=0
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(5x1-x2+x3-x4) - (3x1+x2+x3+x4) = 0
2x1-2x2-2x4=0
que simplifica para
x1-x2-x4=0
Portanto o sistema é equivalente a
4x1+x3=0, x1-x2-x4=0

Passo 3

Como temos quatro incógnitas e duas equações independentes, escolhemos duas variáveis livres. Seja
x1=s, x4=t
Da primeira equação vem
x3 = -4x1 = -4s,
e da segunda
x2 = x1 - x4 = s - t

Passo 4

Logo a solução geral é
(x1,x2,x3,x4) = l(s,;s-t,;-4s,;tr) = s,(1,1,-4,0) ;+; t,(0,-1,0,1)
Isto mostra que os vetores (1,1,-4,0) e (0,-1,0,1) formam uma base do espaço solução.

Resposta

A base do espaço solução é
(1,1,-4,0),;(0,-1,0,1),
e a sua dimensão é 2.

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