Encontre uma base e dimensão do núcleo e da imagem para cada matriz:
[llll1 & 2 & 0 & 0 1 & 3 & 1 & 0]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 2 & 0 & 0 1 & 3 & 1 & 0
e pede uma base e a dimensão de ker(A) e de Im(A). O conteúdo envolvido é álgebra linear básica: fazemos a eliminação de Gauss para achar o posto de A, obtemos os pivôs para a imagem e resolvemos A x=0 para o núcleo.

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss a A. Subtraindo a primeira linha da segunda,
1 & 2 & 0 & 0 1 & 3 & 1 & 0 ;xrightarrow;R2to R2-R1;; 1 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0
Em seguida eliminamos o 2 acima do pivô da segunda linha:
1 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 ;xrightarrow;R1to R1-2R2;; 1 & 0 & -2 & 0 0 & 1 & 1 & 0
Portanto
RREF(A) = 1 & 0 & -2 & 0 0 & 1 & 1 & 0 ,
e o posto de A é 2.

Passo 3

Como há pivôs nas colunas 1 e 2, temos
dim(Im(A))=2
e uma base da imagem pode ser escolhida pegando as colunas originais de A correspondentes a esses pivôs, isto é,
Im(A)=span(1,1),;(2,3)

Passo 4

Para ker(A) resolvemos RREF(A),x=0. Da primeira linha vem x1-2x3=0 e da segunda x2+x3=0. As variáveis livres são x3 e x4.
Definindo s=x3 e t=x4, obtemos
x=(x1,x2,x3,x4) =(2s,,-s,,s,,t) =s,(2,-1,1,0)+t,(0,0,0,1)
Logo
dim(ker(A))=2
e uma base do núcleo é
(2,-1,1,0),;(0,0,0,1)

Resposta

Uma possível resposta é:
dim(Im(A))=2, base da imagem (1,1),(2,3).
dim(ker(A))=2, base do núcleo (2,-1,1,0),(0,0,0,1).

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