Encontre uma base e dimensão do núcleo e da imagem para cada matriz:
Passo 1
O enunciado pede para a matriz
A = 0 & 1 & 1 2 & 2 & 0 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 0
encontrar uma base e a dimensão do núcleo (ker(A)) e da imagem (Im(A)). Vamos usar eliminação de Gauss para determinar o posto de A, aplicar o Teorema do Posto–Nulidade e resolver o sistema homogêneo A x = 0.
Passo 2
Aplicando eliminação de Gauss em A chegamos à forma escalonada
2 & 2 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Há pivôs na coluna 1 e na coluna 2, portanto rank(A)=2.
Passo 3
Pelo Teorema do Posto–Nulidade, como A tem 3 colunas,
dim(ker(A)) = 3 - rank(A) = 3 - 2 = 1,
dim(Im(A)) = rank(A) = 2
Passo 4
Uma base para Im(A) vem das colunas de A que contêm pivôs (colunas 1 e 2):
(0,2,-1,1)^T,;(1,2,0,1)^T
Passo 5
Para
Da segunda equação . Tomando livre,
Logo uma base de é .
Resposta
Base de ker(A): (1,-1,1)^T; dim(ker(A))=1.
Base de Im(A): (0,2,-1,1)^T,,(1,2,0,1)^T; dim(Im(A))=2.