Encontre uma base e a dimensão dos seguintes sub-espaços:
W_{1}=\{(x, y, z): x+3 y=0\} \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
\displaystyle W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+3y=0\}.
Isso envolve o conteúdo de subespaços vetoriais definidos por equações lineares homogêneas, em que usamos parametrização para encontrar uma geração por vetores livres.

Passo 2

Da equação \;x+3y=0\; temos
x = -3y.
Podemos escolher y e z como parâmetros livres. Seja
y = t,\quad z = s,
com t,s\in\mathbb{R}.

Passo 3

Substituindo em (x,y,z) vem
(x,y,z) = (-3t,\,t,\,s) = t\cdot(-3,1,0)\;+\;s\cdot(0,0,1).
Logo
W_{1} = \operatorname{span}\{(-3,1,0),\,(0,0,1)\}.

Passo 4

Para verificar que esses vetores formam de fato uma base, checamos independência linear. Se
a\,(-3,1,0)+b\,(0,0,1)=(0,0,0),
então olhando nas coordenadas vem imediatamente a=0 e b=0. Assim são linearmente independentes e geram W_{1}.

Resposta

Uma base de W_{1} é
\{(-3,1,0),\,(0,0,1)\},
e a dimensão de W_{1} é 2.

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