Encontre uma base e a dimensão do subespaço vetorial
onde:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço
Aqui o espaço ambiente é
, o conjunto de todos os polinômios de grau até 2, e a condição
define um subespaço. Para resolver, vamos
- escrever o polinômio genérico em
, - impor
, - ver em que vetores ele se expressa, e
- extrair uma base e contar seus vetores para obter a dimensão.
Passo 2
Um polinômio genérico em
é
com
. A condição
significa
Logo, todo
satisfaz
, e então
Passo 3
Repare que qualquer
é combinação linear de
e
, pois
Os vetores
e
são linearmente independentes em
, e geram exatamente todo
. Portanto
é uma base de
.
Passo 4
A dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base. Como a base escolhida tem 2 vetores,
Resposta
Uma base de
é
e
.