Encontre uma base e a dimensão do subespaço vetorial W onde:
W=\left\{p(t) \in P_{2}(\mathbb{R}) ; p(0)=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço
W = \{\,p(t)\in P_{2}(\mathbb{R}) \mid p(0)=0\}.
Aqui o espaço ambiente é P_{2}(\mathbb{R}), o conjunto de todos os polinômios de grau até 2, e a condição p(0)=0 define um subespaço. Para resolver, vamos
  1. escrever o polinômio genérico em P_{2}(\mathbb{R}),
  2. impor p(0)=0,
  3. ver em que vetores ele se expressa, e
  4. extrair uma base e contar seus vetores para obter a dimensão.

Passo 2

Um polinômio genérico em P_{2}(\mathbb{R}) é
p(t)=a\,t^{2}+b\,t+c,
com a,b,c\in\mathbb{R}. A condição p(0)=0 significa
p(0)=a\cdot0^{2}+b\cdot0+c = c = 0.
Logo, todo p\in W satisfaz c=0, e então
p(t)=a\,t^{2}+b\,t.

Passo 3

Repare que qualquer p(t)\in W é combinação linear de t e t^{2}, pois
p(t)=a\,t^{2}+b\,t = a\,(t^{2}) + b\,(t).
Os vetores t e t^{2} são linearmente independentes em P_{2}(\mathbb{R}), e geram exatamente todo W. Portanto
\{\,t,\;t^{2}\}
é uma base de W.

Passo 4

A dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base. Como a base escolhida tem 2 vetores,
\dim(W)=2.

Resposta

Uma base de W é \{\,t,\;t^{2}\} e \dim(W)=2.

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