Questão 26 Verifique se os seguintes conjuntos são LI ou LD.
W_{3}=\{(1,1,1),(1,0,1),(1,0,2)\} \subset \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W_{3}=\{(1,1,1),\,(1,0,1),\,(1,0,2)\}\subset\mathbb{R}^{3}
é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Conteúdo que vamos usar: definição de LI/LD via combinação linear nula e solução de sistema homogêneo.

Passo 2

Suponha que existam escalares c_{1},c_{2},c_{3} tais que
c_{1}(1,1,1)+c_{2}(1,0,1)+c_{3}(1,0,2)=(0,0,0).
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} c_{1}+c_{2}+c_{3}=0,\\\ c_{1}=0,\\\ c_{1}+c_{2}+2c_{3}=0. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação vem c_{1}=0. Substituindo em \,c_{1}+c_{2}+c_{3}=0 c_{2}+c_{3}=0,
e em \,c_{1}+c_{2}+2c_{3}=0 c_{2}+2c_{3}=0.
Subtraindo as duas últimas equações surge c_{3}=0, logo c_{2}=0.
A única solução é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0, ou seja, existe apenas a combinação trivial.

Resposta

O conjunto W_{3} é linearmente independente.

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