Questão 27 Se S=\{u, v, w\} é um conjunto LI, mostre que S_{1}=\{u+v, u-v, u-2 v+w\} é também LI.

Passo 1

O enunciado diz que S=\{u,v,w\} é um conjunto linearmente independente (LI) em algum espaço vetorial. Precisamos mostrar que
S_{1}=\{\,u+v,\;u-v,\;u-2v+w\}
também é LI, ou seja, que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial.

Passo 2

Considere uma combinação arbitrária dos vetores de S_{1} igual a zero:
\alpha\,(u+v)+\beta\,(u-v)+\gamma\,(u-2v+w)=0.
Nosso objetivo é provar que \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 3

Vamos expandir e agrupar os termos em u, v e w:
\alpha u+\alpha v +\beta u-\beta v +\gamma u-2\gamma v+\gamma w =0.
Reagrupando, obtemos
(\alpha+\beta+\gamma)\,u \;+\;(\alpha-\beta-2\gamma)\,v \;+\;\gamma\,w \;=\;0.

Passo 4

Como \{u,v,w\}\) é LI, a única forma de ter \[(\alpha+\beta+\gamma)\,u +(\alpha-\beta-2\gamma)\,v +\gamma\,w =0
é fazendo todos os coeficientes iguais a zero. Logo surge o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=0,\\\ \alpha-\beta-2\gamma=0,\\\ \gamma=0. \end{cases}
Da terceira equação vem \gamma=0\]. Substituindo em \(\alpha+\beta=0 e \alpha-\beta=0
vemos que \alpha=\beta=0.

Resposta

O conjunto S_{1}=\{u+v,\;u-v,\;u-2v+w\} é linearmente independente.

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