Questão 27 Se
é um conjunto LI, mostre que
é também LI.
Passo 1
O enunciado diz que
é um conjunto linearmente independente (LI) em algum espaço vetorial. Precisamos mostrar que
também é LI, ou seja, que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial.
Passo 2
Considere uma combinação arbitrária dos vetores de
igual a zero:
Nosso objetivo é provar que
.
Passo 3
Vamos expandir e agrupar os termos em
,
e
:
Reagrupando, obtemos
Passo 4
Como
é fazendo todos os coeficientes iguais a zero. Logo surge o sistema
Da terceira equação vem
e
vemos que
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.