Encontre uma base e a dimensão do subespaço W de R^3 nos casos seguintes:
W=(x, y, z) in R^3 mid x=y=z.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço WsubsetR^3 definido por
W = (x,y,z)inR^3 mid x=y=z
O conteúdo aqui é entendimento de subespaço, parametrização de vetores que satisfazem a condição e depois identificação de uma base (conjunto de vetores linearmente independentes que geram W) e da dimensão (número de vetores na base).

Passo 2

Se (x,y,z)in W, então x=y=z. Chamando esse valor comum de tinR, temos
(x,y,z)=(t,t,t)=t,(1,1,1)
Logo
W = ,t,(1,1,1)mid tinR,
isto é, um conjunto de múltiplos escalares do vetor (1,1,1). Portanto (1,1,1) gera W e é claramente linearmente independente, pois não há nenhum escalar não nulo que anule esse único vetor.

Resposta

Uma base de W é
(1,1,1),
e a dimensão de W é 1.

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