Seja pi o plano que passa pelos pontos A=(5,-4,1), B=(1,1,0) e C=(0,4,-2).
Verifique se o ponto D=(4,3,-2) pertence ao plano pi:
i. Usando as equações paramétricas.
ii. Usando a equação cartesiana.

Passo 1

O enunciado define o plano pi que passa pelos pontos
A=(5,-4,1), B=(1,1,0) e C=(0,4,-2), e pede para verificar se o ponto D=(4,3,-2) pertence a pi usando
  1. as equações paramétricas do plano,
  2. a equação cartesiana do plano.

Passo 2

Para construir o plano parametricamente, primeiro encontramos dois vetores diretores:
AB=B-A=(1-5,;1-(-4),;0-1)=(-4,5,-1),
AC=C-A=(0-5,;4-(-4),;-2-1)=(-5,8,-3)

Passo 3

No método paramétrico, todo ponto P(s,t) do plano pode ser escrito como
P(s,t)=A + s,AB + t,AC
Impondo P(s,t)=D, obtemos o sistema coordenada a coordenada:
5 - 4s - 5t = 4,
-4 + 5s + 8t = 3,
1 - s - 3t = -2

Passo 4

Resolvendo
da terceira equação 1 - s - 3t = -2 vem
s + 3t = 3
Substituindo em 5 - 4s - 5t = 4 4s+5t=1, e em -4 + 5s + 8t = 3 5s+8t=7.
Da primeira dessas surge (s,t)=(-tfrac127,tfrac117), mas isso não satisfaz a segunda (pois tfrac287neq7).
Como o sistema é inconsistente, não há s,t que levem a D, logo pelo método paramétrico D não está em pi.

Passo 5

No método cartesiano, calculamos o vetor normal n=ABtimesAC.
n= i & j & k -4 & 5 & -1 -5 & 8 & -3 =(-7,,-7,,-7)

Passo 6

A equação cartesiana do plano é
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0 Longrightarrow -7(x-5)-7(y+4)-7(z-1)=0
Dividindo por -7 e rearranjando, fica
x + y + z = 2

Passo 7

Para D=(4,3,-2) temos 4 + 3 + (-2) = 5neq 2. Assim, D não satisfaz a equação cartesiana e portanto não pertence a pi.

Resposta

O ponto D não pertence ao plano pi.

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