Seja pi o plano que passa pelos pontos A=(5,-4,1), B=(1,1,0) e C=(0,4,-2).
Com base nas equações paramétricas obtidas no item anterior, reobtenha a equação cartesiana do plano pi.

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano pi que passa pelos pontos
;A=(5,-4,1), ;B=(1,1,0) e ;C=(0,4,-2).
O conteúdo é geometria analítica no espaço: vamos usar as equações paramétricas do plano, encontrar um vetor normal por produto vetorial e, a partir disso, obter a forma cartesiana.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a forma paramétrica de pi usando o ponto A e os vetores diretores AB e AC:
pi:;r = A + s,AB + t,AC
Aqui
AB = B - A = (1-5,;1-(-4),;0-1) = (-4,,5,,-1),
AC = C - A = (0-5,;4-(-4),;-2-1) = (-5,,8,,-3)

Passo 3

Para passar à forma cartesiana, precisamos de um vetor normal n ao plano. Esse vetor é dado pelo produto vetorial
n = AB times AC

Passo 4

Calculando o produto vetorial por determinante:
n = i & j & k -4 & 5 & -1 -5 & 8 & -3 = l(5cdot(-3)-(-1)cdot8,;-(-4cdot(-3)-(-1)cdot(-5)),;-4cdot8-5cdot(-5)r)
n=(-15+8,;- (12-5),;-32+25)=(-7,,-7,,-7)
Multiplicamos por -1 para simplificar e obtemos
n = (7,,7,,7).

Passo 5

A equação cartesiana do plano com normal n=(a,b,c) e passando por A=(x0,y0,z0) é
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
Substituindo a=b=c=7 e A=(5,-4,1):
7(x-5)+7l(y-(-4)r)+7(z-1)=0
7x-35+7y+28+7z-7=0
7x+7y+7z-14=0
Dividindo tudo por 7:
x+y+z-2=0,
ou seja
x+y+z=2

Resposta

A equação cartesiana do plano pi é
x + y + z = 2

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