Encontre uma base para o espacio solução do sistema homogêneo dado.
x-y-z & =0 2 x-y+z & =0

Passo 1

O enunciado pede a base do espaço solução do sistema homogêneo
x - y - z = 0, 2x - y + z = 0,
que é um problema de teoria de espaços vetoriais e redução de sistemas lineares. Para resolver vamos usar o método de eliminação de Gauss, encontrar a solução geral em função de variáveis livres e então extrair um conjunto gerador mínimo (base).

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada das equações e aplicamos eliminação de Gauss:
[ccc|c 1 & -1 & -1 & 0 2 & -1 & 1 & 0 ] ;xrightarrow;L2>=ts L2-2L1; [ccc|c 1 & -1 & -1 & 0 0 & 1 & 3 & 0 ]
Isso equivale ao sistema
x - y - z = 0, y + 3z = 0

Passo 3

Da segunda equação y + 3z = 0 obtemos
y = -3z
Substituindo na primeira x - y - z = 0
x - (-3z) - z = 0 Longrightarrow x +2z = 0 Longrightarrow x = -2z

Passo 4

Como z é variável livre, denotamos z = t. Assim a solução geral é
(x,y,z) = ( -2t,,-3t,;t ) = t,(-2,,-3,;1)
Em forma vetorial,
vec v = t,-2-31, tinR

Passo 5

O espaço solução é a reta gerada por -2-31. Logo uma base é
,( -2,,-3,;1 )

Resposta

A base do espaço solução é (-2,-3,1).

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