Encontre uma base para o espacio solução do sistema homogêneo dado.
l3 x1+2 x2-4 x3+x4=0 -x1+3 x2+x3+5 x4=0

Passo 1

Temos um sistema homogêneo em quatro incógnitas
3x1+2x2-4x3+x4=0, -,x1+3x2+x3+5x4=0
O objetivo é encontrar uma base do espaço das soluções, ou seja, o núcleo da matriz de coeficientes. Vamos usar eliminação de Gauss para parametrizar a solução e extrair vetores que a geram.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos o termo em x1 na segunda equação:
[rrrr|r 3 & 2 & -4 & 1 & 0 -1& 3 & 1 & 5 & 0 ]
Para zerar o -1 da segunda linha, fazemos L2 3,L2 + L1. Isso não altera a primeira linha e produz na segunda:
3cdot(-1)+3 = 0, 3cdot3+2=11, 3cdot1-4=-1, 3cdot5+1=16, 3cdot0+0=0
Logo obtemos a forma escalonada
[rrrr|r 3 & 2 & -4 & 1 & 0 0 & 11 & -1 & 16 & 0 ]

Passo 3

As variáveis x3 e x4 são livres; chamemos
x3=s, x4=t
Da segunda linha temos
11x2-x3+16x4=0 Longrightarrow x2=s-16t11
Da primeira linha
3x1+2x2-4s+t=0 Longrightarrow x1=-2x2+4s-t3
Substituindo x2=(s-16t)/11 e simplificando chega-se a
x1=7,(2s+t)11

Passo 4

Portanto o vetor solução é
Para evitar frações, façamos , . Isso dá
Logo os vetores e geram todo o espaço solução de forma linearmente independente.

Resposta

Uma base do espaço das soluções é
l(14,1,11,0),,(7,-16,0,11)r

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