Em M2 times 2 escreva a matriz [ll2 & 3 1 & 2] em termos da [cc1 & 1 -1 & 0],[ll2 & 0 3 & 1],[cc0 & 1 -1 & 0],[cc0 & -2 0 & 4].

Passo 1

O enunciado pede expressar a matriz alvo na forma de combinação linear dos vetores-matriz dados. Em M2times2 temos
E1=1 & 1 -1 & 0,
E2=2 & 0 3 & 1,
E3=0 & 1 -1 & 0
e
E4=0 & -2 0 & 4,
enquanto a matriz que queremos escrever é
T=2 & 3 1 & 2.
Do conteúdo de espaços vetoriais, vamos usar combinação linear e sistema de equações.

Passo 2

Seja
aE1 + bE2 + cE3 + dE4 = T
Calculando a soma entrada a entrada, obtemos
aE1 + bE2 + cE3 + dE4 = a + 2b & a + c - 2d -,a + 3b - c & b + 4d

Passo 3

Igualando à matriz T surge o sistema
a + 2b = 2, a + c - 2d = 3, -,a + 3b - c = 1, b + 4d = 2

Passo 4

Da primeira equação vem a=2-2b. Da última, d=(2-b)/4. Substituindo em
a + c - 2d = 3 e -,a + 3b - c = 1
obtemos duas expressões para c:
c=5b-3 e c=1+2b+2d
Igualando-as e usando d=(2-b)/4, chega-se a b=10/7. Então
d=tfrac17, c=tfrac297, a=-tfrac67

Passo 5

Portanto a combinação linear procurada é
-tfrac67E1 + tfrac107E2 + tfrac297E3 + tfrac17E4 = T

Resposta

2 & 3 1 & 2 = -671 & 1 -1 & 0 + 1072 & 0 3 & 1 + 2970 & 1 -1 & 0 + 170 & -2 0 & 4

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