Exercício 28 (Plano determinado por três pontos) Considere-se o espaço tridimensional munido de um sistema ortonormal (O ; imath, jmath, k) de coordenadas cartesianas. Entre as equações cartesianas ou representações paramétricas seguintes, determinar quais são aquelas que correspondem ao único plano (P) que passa pelos pontos A(1 ; 1 ; 0), B(-1 ; 0 ; 4), C(2 ; 2 ;-1).
28.2 O plano de equação cartesiana (P2): 2 x+z=2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o plano dado pela equação cartesiana
P2: 2x + z = 2
é o mesmo plano P que passa pelos pontos
A(1;1;0), B(-1;0;4) e C(2;2;-1).
Para isso vamos checar se cada um desses pontos satisfaz a equação de P2.

Passo 2

Substituindo as coordenadas de A na equação de P2:
2x+z = 2cdot1 + 0 = 2 = 2,
logo A pertence a P2.

Passo 3

Substituindo as coordenadas de B em P2:
2x+z = 2cdot(-1) + 4 = -2 + 4 = 2 = 2,
logo B também pertence a P2.

Passo 4

Substituindo as coordenadas de C em P2:
2x+z = 2cdot2 + (-1) = 4 - 1 = 3 neq 2,
portanto C não pertence a P2.

Passo 5

Para que P2 fosse o plano determinado por A, B e C, todos os três pontos deveriam satisfazer a mesma equação. Como C não satisfaz 2x+z=2, concluímos que P2 não é o plano procurado.

Resposta

O plano P2: 2x + z = 2
não coincide com o plano determinado pelos pontos A, B e C.

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