Sejam e dois subespaços de .
Determine uma base para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta dois conjuntos de polinômios, e , que são subespaços do espaço de polinômios de grau até 3, denotado por . Nosso objetivo é encontrar uma base para a interseção desses dois conjuntos, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e interseção de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é o conjunto . Ele é definido como o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 que satisfazem a condição , onde e são os coeficientes do polinômio . Essa condição linear nos ajuda a caracterizar os polinômios que pertencem a .
Passo 3
Agora, vamos olhar para o conjunto . Ele é dado explicitamente por três polinômios:
Como é um subespaço, podemos pensar nele como o conjunto de todas as combinações lineares desses três polinômios. Para facilitar, vamos ver se esses polinômios são linearmente independentes ou não, o que nos ajudará a determinar uma base para .
Passo 4
Vamos verificar se os polinômios em [S_2) são linearmente independentes. Consideramos uma combinação linear que iguala a zero:
Expandindo e agrupando os termos semelhantes:
Para que isso seja igual a zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Da última equação, temos , com , temos .
- De , com , temos .
Como a única solução é a trivial (), os polinômios são linearmente independentes e formam uma base para .
Passo 5
Agora, queremos encontrar os polinômios que estão em ambos os conjuntos [S_1) e . Ou seja, precisamos encontrar combinações lineares dos polinômios de que também satisfazem a condição de .
Vamos supor que um polinômio pertence a . Então, podemos escrever:
E, ao mesmo tempo, deve satisfazer .
Vamos expandir :
Os coeficientes correspondentes são:
Aplicando a condição de (S_1]:
Então, [c_3 = 0). Substituindo de volta:
Isso nos mostra que há uma relação entre os coeficientes, restringindo (c_3] a zero.
Passo 6
Com [c_3 = 0), nosso polinômio fica:
E os coeficientes são:
Queremos expressar em termos de :
De , temos .
Mas, precisamos encontrar uma relação independente para expressar de forma clara.
Vamos reescrever :
Para obter uma expressão mais simples, podemos considerar que e são parâmetros livres, então uma base para será formada pelas combinações lineares independentes desses parâmetros.
Resposta
A base para S1 cap S2 é composta pelos polinômios x^3 + 2x^2 + x e x^2 + x + 1 . Portanto,
Base de S1 cap S2 = , x^3 + 2x^2 + x, x^2 + x + 1 ,