Sejam
e
dois subespaços de
.
Determine uma base para
.
Determine uma base para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base para o subespaço
dos polinômios de grau até 3 definidos por
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente espaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar os polinômios que satisfazem essa condição e identificar um conjunto de polinômios que possam gerar todo o
sem redundância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é o espaço dos polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. A condição
impõe uma restrição nos coeficientes desses polinômios.
Passo 3
Vamos usar essa condição para expressar um dos coeficientes em termos dos outros. Por exemplo, podemos resolver para
:
Isso significa que qualquer polinômio em
pode ser escrito como:
Passo 4
Agora, reescrevendo o polinômio, temos:
Isso mostra que qualquer polinômio em
pode ser construído a partir de combinações lineares dos polinômios
,
e
.
Passo 5
Para confirmar que esses polinômios formam uma base, precisamos verificar duas coisas:
- Independência Linear: Nenhum dos polinômios pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
- Geração do Espaço: Qualquer polinômio em
pode ser escrito como uma combinação linear desses polinômios.
Como construímos esses polinômios diretamente a partir das variáveis livres
,
e
, eles são ambos independentes e capazes de gerar todo o espaço
.
Resposta
Uma base para
é
.