Sejam S1=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3 in P3(R) mid a3-a2+a1=0 e S2=[x^3+2 x^2+x, x^2+x+1, x^3] dois subespaços de P3(R).
Determine uma base para S1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base para o subespaço S1 dos polinômios de grau até 3 definidos por a3 - a2 + a1 = 0 . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente espaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar os polinômios que satisfazem essa condição e identificar um conjunto de polinômios que possam gerar todo o S1 sem redundância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa S1 = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 in P3(R) mid a3 - a2 + a1 = 0 . Aqui, P3(R) é o espaço dos polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. A condição a3 - a2 + a1 = 0 impõe uma restrição nos coeficientes desses polinômios.

Passo 3

Vamos usar essa condição para expressar um dos coeficientes em termos dos outros. Por exemplo, podemos resolver para a3 :
a3 = a2 - a1
Isso significa que qualquer polinômio em S1 pode ser escrito como:
a0 + a1 x + a2 x^2 + (a2 - a1) x^3

Passo 4

Agora, reescrevendo o polinômio, temos:
a0 + a1 x + a2 x^2 + a2 x^3 - a1 x^3 = a0 + a1(x - x^3) + a2(x^2 + x^3)
Isso mostra que qualquer polinômio em S1 pode ser construído a partir de combinações lineares dos polinômios 1 , x - x^3 e x^2 + x^3 .

Passo 5

Para confirmar que esses polinômios formam uma base, precisamos verificar duas coisas:
  1. Independência Linear: Nenhum dos polinômios pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
  2. Geração do Espaço: Qualquer polinômio em S1 pode ser escrito como uma combinação linear desses polinômios.
Como construímos esses polinômios diretamente a partir das variáveis livres a0 , a1 e a2 , eles são ambos independentes e capazes de gerar todo o espaço S1 .

Resposta

Uma base para S1 é ,1,; x - x^3,; x^2 + x^3,.

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