Verifique se os seguintes subconjuntos são linearmente dependentes ou linearmente independentes nos respetivos espaços vetoriais sobre . em .
Passo 1
O enunciado nos dá quatro polinômios em :
e pede para verificar se o conjunto é linearmente independente ou dependente. Vamos usar a definição de independência linear: o conjunto é independente se a única combinação linear que dá o polinômio nulo tem todos os coeficientes nulos.
Passo 2
Consideramos a combinação linear genérica igual ao polinômio zero:
Em outras palavras,
Passo 3
Expandimos e agrupamos em potências de :
Passo 4
Para que esse polinômio seja o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero. Isso gera o sistema:
Passo 5
Substituindo d=0 e c=0 nas outras duas equações:
b + 0 -2cdot0=0;Rightarrow;b=0, a - b +3cdot0=0;Rightarrow;a=0
Logo só existe a solução trivial a=b=c=d=0.
Passo 6
Como a única combinação linear que anula todos os polinômios é a combinação trivial, concluímos que o conjunto é linearmente independente.
Resposta
O conjunto 1,;t-1,;t^2+t,;t^3-2t+3 é linearmente independente em P4(R).