Verifique se os seguintes subconjuntos são linearmente dependentes ou linearmente independentes nos respetivos espaços vetoriais sobre R.
1, t-1, t^2+t, t^3-2 t+3 em P4(R).

Passo 1

O enunciado nos dá quatro polinômios em P4(R):
p1(t)=1, p2(t)=t-1, p3(t)=t^2+t, p4(t)=t^3-2t+3
e pede para verificar se o conjunto p1,p2,p3,p4 é linearmente independente ou dependente. Vamos usar a definição de independência linear: o conjunto é independente se a única combinação linear que dá o polinômio nulo tem todos os coeficientes nulos.

Passo 2

Consideramos a combinação linear genérica igual ao polinômio zero:
a,p1(t)+b,p2(t)+c,p3(t)+d,p4(t)=0,para todo t
Em outras palavras,
acdot1 + b,(t-1) + c,(t^2+t) + d,(t^3-2t+3) ;=;0

Passo 3

Expandimos e agrupamos em potências de t:
a + b,t - b + c,t^2 + c,t + d,t^3 -2d,t +3d ;=; d,t^3 + c,t^2 + (b + c -2d),t + (a - b +3d)

Passo 4

Para que esse polinômio seja o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero. Isso gera o sistema:
coef de t^3:&d=0, coef de t^2:&c=0, coef de t^1:&b + c -2d=0, termo constante:&a - b +3d=0

Passo 5

Substituindo d=0 e c=0 nas outras duas equações:
b + 0 -2cdot0=0;Rightarrow;b=0, a - b +3cdot0=0;Rightarrow;a=0
Logo só existe a solução trivial a=b=c=d=0.

Passo 6

Como a única combinação linear que anula todos os polinômios é a combinação trivial, concluímos que o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto 1,;t-1,;t^2+t,;t^3-2t+3 é linearmente independente em P4(R).

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