Exercício 1.3. Qual deve ser o valor de m para que os pontos A(3, m, 1), B(1,1,-1) e C(-2,10,4) pertençam à mesma reta?

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço: A(3,m,1), B(1,1,-1) e C(-2,10,4).
A pergunta é: qual deve ser o valor de m para que os três pontos pertençam à mesma reta (ou seja, sejam colineares)?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): três pontos A,B,C são colineares se e só se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} forem paralelos.
“Vetores paralelos” significa que um é múltiplo escalar do outro: existe um escalar t tal que
\overrightarrow{AB}=t\,\overrightarrow{AC}.
Para formar os vetores entre pontos, subtrai-se coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AB}=B-A,\qquad \overrightarrow{AC}=C-A.

Passo 3

Calcular explicitamente os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{AB}=(1-3,\;1-m,\;-1-1)=(-2,\;1-m,\;-2),
\overrightarrow{AC}=(-2-3,\;10-m,\;4-1)=(-5,\;10-m,\;3).

Passo 4

Usar a condição de paralelismo \overrightarrow{AB}=t\,\overrightarrow{AC}. Escrevendo componente a componente:
-2 = t(-5),\qquad 1-m = t(10-m),\qquad -2 = t\cdot 3.
Das duas equações que não envolvem m (primeira e terceira) conseguimos t de duas maneiras:
t = \frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}, \qquad t = \frac{-2}{3}=-\frac{2}{3}.
Esses dois valores de t são diferentes ( \tfrac{2}{5}\neq -\tfrac{2}{3}), logo não existe um único t que satisfaça simultaneamente todas as componentes. Portanto não há como escolher m para tornar verdadeiras todas as três igualdades acima.

Passo 5

(Verificação alternativa, mesma conclusão.) Outra forma padrão é verificar o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}: ele deve ser o vetor nulo se os vetores forem paralelos. Calculando:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -2 & 1-m & -2 \\\\ -5 & 10-m & 3 \end{vmatrix}.
Expandindo componente a componente (mostrando conta):
\text{componente } \mathbf{i}:\\\ 3(1-m)-(-2)(10-m)=23-5m,
\text{componente } \mathbf{j}:\\\ -\big((-2)\cdot 3 - (-2)\cdot(-5)\big)=16,
\text{componente } \mathbf{k}:\\ (-2)(10-m)-(1-m)(-5)=-15-3m.
O produto vetorial dá (23-5m,\;16,\;-15-3m). Para ser o vetor nulo todas as componentes teriam que ser zero, mas a componente central é 16, não depende de m e é diferente de zero. Logo o produto vetorial nunca é nulo para qualquer m. Isso confirma que não existe m que torne os vetores paralelos.

Passo 6

Conclusão final: não é possível escolher m de modo que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} sejam paralelos; portanto não existe valor de m que faça A,B,C ficarem na mesma reta.

Resposta

Não existe valor de m tal que os pontos A(3,m,1), B(1,1,-1) e C(-2,10,4) sejam colineares.

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