Exercício 1.3. Qual deve ser o valor de m para que os pontos A(3, m, 1), B(1,1,-1) e C(-2,10,4) pertençam à mesma reta?
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço: A(3,m,1), B(1,1,-1) e C(-2,10,4).
A pergunta é: qual deve ser o valor de m para que os três pontos pertençam à mesma reta (ou seja, sejam colineares)?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagar): três pontos A,B,C são colineares se e só se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} forem paralelos.
“Vetores paralelos” significa que um é múltiplo escalar do outro: existe um escalar t tal que
\overrightarrow{AB}=t\,\overrightarrow{AC}.
Para formar os vetores entre pontos, subtrai-se coordenada a coordenada:
Das duas equações que não envolvem m (primeira e terceira) conseguimos t de duas maneiras:
t = \frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}, \qquad t = \frac{-2}{3}=-\frac{2}{3}.
Esses dois valores de t são diferentes (\tfrac{2}{5}\neq -\tfrac{2}{3}), logo não existe um único t que satisfaça simultaneamente todas as componentes. Portanto não há como escolher m para tornar verdadeiras todas as três igualdades acima.
Passo 5
(Verificação alternativa, mesma conclusão.) Outra forma padrão é verificar o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}: ele deve ser o vetor nulo se os vetores forem paralelos. Calculando:
O produto vetorial dá (23-5m,\;16,\;-15-3m). Para ser o vetor nulo todas as componentes teriam que ser zero, mas a componente central é 16, não depende de m e é diferente de zero. Logo o produto vetorial nunca é nulo para qualquer m. Isso confirma que não existe m que torne os vetores paralelos.
Passo 6
Conclusão final: não é possível escolher m de modo que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} sejam paralelos; portanto não existe valor de m que faça A,B,C ficarem na mesma reta.
Resposta
Não existe valor de m tal que os pontos A(3,m,1), B(1,1,-1) e C(-2,10,4) sejam colineares.