Explique por que
não é uma base de
:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Conjunto
. - Pergunta: explicar por que
não é uma base de .
Passo 2
O que é preciso saber (definições e ideias) — aula rápida e sem enrolação.
-
Uma base de
é um conjunto de vetores que satisfaz duas coisas ao mesmo tempo: - São linearmente independentes — isto é, a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial. Formalmente, vetores
são linearmente independentes se, sempre que
para escalares, então .
2. Geram (span) todo— ou seja, qualquer vetor de pode ser escrito como combinação linear desses vetores. - São linearmente independentes — isto é, a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial. Formalmente, vetores
-
Para
especificamente, uma base precisa de exatamente dois vetores linearmente independentes. Se os dois vetores são múltiplos um do outro, então não são independentes e não formam base.
Passo 3
Verificação direta se os vetores de
são múltiplos entre si (teste simples de dependência).
Calcule
vezes o primeiro vetor:
Portanto
Isso significa que os dois vetores são proporcionais — um é múltiplo escalar do outro.
Passo 4
Concluir linearmente dependentes e mostrar uma combinação não-trivial que dá o zero.
Como
, temos uma combinação linear não-trivial que produz o vetor nulo:
onde os coeficientes
e
não são ambos zero. Logo os vetores são linearmente dependentes. Pela definição do passo anterior, isso já impede que
seja base de
.
Passo 5
Mostrar que o span de
é apenas uma reta (subespaço de dimensão
), não todo
.
Considere uma combinação qualquer
Fatorando
e
, obtemos
Portanto qualquer combinação linear de vetores de
é um múltiplo escalar de
. Assim
que é uma reta passando pela origem — um subespaço de dimensão
, não todo
.
Um exemplo concreto que mostra que o span não é
: o vetor
não pode ser escrito como
, pois
implicaria
e então
. Logo
.
Passo 6
Conclusão final e palavra amiga.
- Os vetores de
são linearmente dependentes (são múltiplos entre si), portanto não podem formar uma base de . - Além disso, o span de
é apenas uma reta (dimensão ), logo não gera todo .
Tá pronto — resumindo: falta independência (e falta gerar o espaço). Você já consegue aplicar isso rapidinho na prova: basta checar se um vetor é múltiplo do outro.