Explique por que S não é uma base de \mathbb{R}^{2} :
S=\{(6,-5),(12,-10)\}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Conjunto S=\{(6,-5),(12,-10)\}.
  • Pergunta: explicar por que S não é uma base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que é preciso saber (definições e ideias) — aula rápida e sem enrolação.
  • Uma base de \mathbb{R}^{2} é um conjunto de vetores que satisfaz duas coisas ao mesmo tempo:
    1. São linearmente independentes — isto é, a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial. Formalmente, vetores v_1,v_2 são linearmente independentes se, sempre que
    \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 = (0,0)
    para escalares \alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}, então \alpha_1=\alpha_2=0.
    2. Geram (span) todo \mathbb{R}^{2} — ou seja, qualquer vetor de \mathbb{R}^{2} pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
  • Para \mathbb{R}^{2} especificamente, uma base precisa de exatamente dois vetores linearmente independentes. Se os dois vetores são múltiplos um do outro, então não são independentes e não formam base.

Passo 3

Verificação direta se os vetores de S são múltiplos entre si (teste simples de dependência).
Calcule 2 vezes o primeiro vetor:
2\cdot(6,-5)=(12,-10).
Portanto
(12,-10)=2\cdot(6,-5).
Isso significa que os dois vetores são proporcionais — um é múltiplo escalar do outro.

Passo 4

Concluir linearmente dependentes e mostrar uma combinação não-trivial que dá o zero.
Como (12,-10)-2(6,-5)=(0,0), temos uma combinação linear não-trivial que produz o vetor nulo:
1\cdot(12,-10) + (-2)\cdot(6,-5) = (0,0),
onde os coeficientes 1 e -2 não são ambos zero. Logo os vetores são linearmente dependentes. Pela definição do passo anterior, isso já impede que S seja base de \mathbb{R}^2.

Passo 5

Mostrar que o span de S é apenas uma reta (subespaço de dimensão 1), não todo \mathbb{R}^{2}.
Considere uma combinação qualquer
a(6,-5)+b(12,-10)=(6a+12b,\,-5a-10b).
Fatorando 6a+12b=6(a+2b) e -5a-10b=-5(a+2b), obtemos
a(6,-5)+b(12,-10)=(a+2b)\,(6,-5).
Portanto qualquer combinação linear de vetores de S é um múltiplo escalar de (6,-5). Assim
\operatorname{Span}(S)=\{t(6,-5)\mid t\in\mathbb{R}\},
que é uma reta passando pela origem — um subespaço de dimensão 1, não todo \mathbb{R}^{2}.
Um exemplo concreto que mostra que o span não é \mathbb{R}^2: o vetor (0,1) não pode ser escrito como t(6,-5), pois 6t=0 implicaria t=0 e então -5t=0\neq1. Logo (0,1)\notin\operatorname{Span}(S).

Passo 6

Conclusão final e palavra amiga.
  • Os vetores de S são linearmente dependentes (são múltiplos entre si), portanto não podem formar uma base de \mathbb{R}^2.
  • Além disso, o span de S é apenas uma reta (dimensão 1), logo não gera todo \mathbb{R}^2.
Tá pronto — resumindo: falta independência (e falta gerar o espaço). Você já consegue aplicar isso rapidinho na prova: basta checar se um vetor é múltiplo do outro.

Resposta

S não é base de \mathbb{R}^{2} porque (12,-10)=2(6,-5), logo os vetores são linearmente dependentes e geram apenas uma reta (subespaço de dimensão 1), não todo \mathbb{R}^{2}.

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