Sejam r1 e r2 retas dadas por:
r1: x2=y-1=z-3-2 e r2:ly=2 x-1 z=-x+4
(a) Estabelecer as equações da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal a r1 e r2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de uma reta que passa pela origem e que é ortogonal às retas e . Estamos lidando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender vetores diretores das retas e e como encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas x2 = y-1 = z-3-2 e d1 = 2 -1 -2 .
Para a reta y = 2x - 1 z = -x + 4 , que está na forma simétrica:
y = 2t - 1 z = -t + 4
O vetor diretor d2 = 1 2 -1 é dado pelos coeficientes dos denominadores:
Para a reta , que está no sistema de equações:
Podemos parametrizar . Seja , então:
Portanto, o vetor diretor de é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar um vetor v = i & j & k 2 & -1 & -2 1 & 2 & -1 = i ( (-1)(-1) - (-2)(2) ) - j ( 2(-1) - (-2)(1) ) + k ( 2(2) - (-1)(1) ) que seja ortogonal a ambos = i (1 + 4) - j (-2 + 2) + k (4 + 1) e = 5i - 0j + 5k . Para isso, usamos o produto vetorial. O produto vetorial de v = 5 0 5 e nos dá um vetor que é perpendicular aos dois.
Calculando :

Passo 4

Agora que temos o vetor diretor x = 0 + 5t y = 0 + 0t z = 0 + 5t da reta que procuramos, podemos escrever a equação da reta que passa pela origem (ponto x = 5t y = 0 z = 5t ) e tem direção .
A equação paramétrica da reta é dada por:
Ou seja:
Onde é o parâmetro real.

Resposta

A equação da reta que passa pela origem e é ortogonal a x = 5t y = 0 z = 5t e é:
Onde é um número real.

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