Sejam e retas dadas por: e
(a) Estabelecer as equações da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal a e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de uma reta que passa pela origem e que é ortogonal às retas e . Estamos lidando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender vetores diretores das retas e e como encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e .
Para a reta , que está na forma simétrica:
O vetor diretor é dado pelos coeficientes dos denominadores:
Para a reta , que está no sistema de equações:
Podemos parametrizar . Seja , então:
Portanto, o vetor diretor de é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar um vetor v = i & j & k 2 & -1 & -2 1 & 2 & -1 = i ( (-1)(-1) - (-2)(2) ) - j ( 2(-1) - (-2)(1) ) + k ( 2(2) - (-1)(1) ) que seja ortogonal a ambos = i (1 + 4) - j (-2 + 2) + k (4 + 1) e = 5i - 0j + 5k . Para isso, usamos o produto vetorial. O produto vetorial de v = 5 0 5 e nos dá um vetor que é perpendicular aos dois.
Calculando :
Passo 4
Agora que temos o vetor diretor x = 0 + 5t y = 0 + 0t z = 0 + 5t da reta que procuramos, podemos escrever a equação da reta que passa pela origem (ponto x = 5t y = 0 z = 5t ) e tem direção .
A equação paramétrica da reta é dada por:
Ou seja:
Onde é o parâmetro real.
Resposta
A equação da reta que passa pela origem e é ortogonal a x = 5t y = 0 z = 5t e é: