Verifique quais dos operadores lineares representados na base canônica pelas matrizes abaixo são diagonalizáveis. Para os que são diagonalizáveis encontre uma base do respeito da qual a matriz que representa é diagonal.
(a)
(c) (ccc1 & 1 & -2 4 & 0 & 4 1 & -1 & 4)
(b) (cc1 & 0 -2 & 1)
(d) (ccc1 & 2 & 3 0 & -1 & 2 0 & 0 & 2)
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais das matrizes dadas são diagonalizáveis sobre R e, quando diagonalizáveis, encontrar uma base de autovetores que as transforme em matriz diagonal. Vamos usar o cálculo do polinômio característico, comparar multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores e, em seguida, construir os autovetores.
Passo 2
Matriz (a):
O polinômio característico é
Temos autovalores distintos e , logo é diagonalizável.
Para :
autovetor .
Para :
autovetor .
Base de autovetores: .
Passo 3
Matriz (b):
, há um único autovalor de multiplicidade algébrica 2.
espaço próprio de dimensão 1 (<2), logo não é diagonalizável.
Passo 4
Matriz (c):
C=1&1&-24&0&41&-1&4
Calculando det(C-lambda I) obtém-se
-lambda(lambda-2)(lambda-3)=0,
portanto autovalores lambda=0,2,3 todos diferentes, e C é diagonalizável.
Resolvendo (C-lambda I)v=0 encontramos autovetores: lambda=0: v1=(-1,3,1). lambda=2: v2=(0,2,1). lambda=3: v3=(-1,0,1).
Base de autovetores: (-1,3,1),,(0,2,1),,(-1,0,1).
Passo 5
Matriz (d):
D=1&2&30&-1&20&0&2
É triangular superior, então os autovalores são as entradas da diagonal: lambda=1,-1,2, todos distintos, logo D é diagonalizável.
Resolvendo (D-lambda I)v=0 obtemos autovetores: lambda=1: v1=(1,0,0). lambda=-1: v2=(-1,1,0). lambda=2: v3=(13,2,3).
Base de autovetores: (1,0,0),,(-1,1,0),,(13,2,3).
Resposta
(a) T é diagonalizável; base de autovetores (4,1),,(-1,1).
(b) T não é diagonalizável.
(c) T é diagonalizável; base de autovetores (-1,3,1),,(0,2,1),,(-1,0,1).
(d) T é diagonalizável; base de autovetores (1,0,0),,(-1,1,0),,(13,2,3).