Encontre uma base ortonormal para o espaço coluna de A:
A=[cc 1 & -2 1 & 0 1 & 1 1 & 3 ] e b=[c -4 -3 3 0 ]
Então calcule a projeção de b nesse espaço coluna.

Passo 1

Resumindo, temos a matriz
A= 1 & -2 1 & 0 1 & 1 1 & 3
cuja coluna-espaço é gerado pelos vetores
v1=1111, v2=-2013,
e queremos (i) obter uma base ortonormal e1,e2 de Col(A) via Gram–Schmidt e (ii) projetar
b=-4-330
em Col(A).

Passo 2

Primeiro normalizamos v1. Calculamos
|v1|=raiz1^2+1^2+1^2+1^2=raiz4=2,
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e1=121111 =1/21/21/21/2

Passo 3

Em seguida, ortogonalizamos v2 a e1:
proje1(v2)=(v2cdot e1),e1,
onde
v2cdot e1 =12(-2+0+1+3)=1
Então
u2=v2-proje1(v2) =-2013 -1/21/21/21/2 =-5/2-1/21/25/2
O comprimento de u2 é
|u2| =raiz(-5/2)^2+(-1/2)^2+(1/2)^2+(5/2)^2 =raiz13,
portanto
e2 =1raiz13-5/2-1/21/25/2 =12raiz13-5-115

Passo 4

Para projetar b em Col(A) usamos
p=(bcdot e1),e1+(bcdot e2),e2
Calculamos
bcdot e1 =12(-4-3+3+0)=-2, bcdot e2 =12raiz13(20+3+3+0) =262raiz13 =raiz13
Assim
(bcdot e1),e1 =-21/21/21/21/2 =-1-1-1-1, (bcdot e2),e2 =raiz13cdot12raiz13-5-115 =12-5-115
Somando, obtemos
p =-1-1-1-1 +-5/2-1/21/25/2 =-7/2-3/2-1/23/2

Resposta

A base ortonormal de Col(A) é
e1=12121212, e2=12raiz13-5-115,
e a projeção de b em Col(A) é
projCol(A)(b) =-72-32-1232

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