Encontre uma base para o subespaço S em R^4 gerado por todas as soluções de
x1+x2+x3-x4=0

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço
S = (x1,x2,x3,x4)inR^4mid x1+x2+x3-x4=0
O conteúdo é resolver uma única equação linear homogênea em R^4, parametrizar o espaço solução e extrair vetores que formem base.

Passo 2

Isolamos uma variável de forma a expressar todas as coordenadas em função de parâmetros. Por exemplo, escolhemos
x1 = -,x2 - x3 + x4

Passo 3

Introduzimos parâmetros para as coordenadas livres: seja s = x2, t = x3 e u = x4. Então
(x1,x2,x3,x4) = l(-s - t + u,,s,,t,,ur)
Isso pode ser reescrito como combinação linear:
(x1,x2,x3,x4) = s,( -1,1,0,0 ) ;+; t,( -1,0,1,0 ) ;+; u,( 1,0,0,1 )

Passo 4

Os vetores que aparecem como coeficientes de s, t e u são três vetores linearmente independentes em R^4 e geram todo S. Logo, eles formam uma base de S.

Resposta

Uma base de S é
,(-1,1,0,0),;(-1,0,1,0),;(1,0,0,1)

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