Verdadeiro ou falso? Dê um contra-exemplo caso falso ou uma demonstração caso verdadeiro.
Q^-1 é uma matriz ortogonal quando Q é uma matriz ortogonal.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dada uma matriz Q ortogonal, sua inversa Q^-1 também é ortogonal. Lembrando que chamamos de ortogonal uma matriz A que satisfaz
A^T A = I,
onde I é a matriz identidade. Vamos usar essa definição para decidir se Q^-1 é ortogonal.

Passo 2

Como Q é ortogonal, temos
Q^T Q = I
Daqui segue que
Q^-1 = Q^T
Para verificar que Q^-1 é ortogonal, basta conferir se
(Q^-1)^T ,(Q^-1) = I
Substituindo Q^-1=Q^T, obtemos
(Q^-1)^T (Q^-1) = (Q^T)^T ,Q^T = Q,Q^T = I,
pois Q,Q^T = I também vale para matrizes ortogonais. Portanto, Q^-1 satisfaz a mesma condição de ortogonalidade.

Resposta

Verdadeiro.

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