Encontre uma base ortonormal para o espaço vetorial formado pela combinação linear dos dois vetores abaixo:
v1=[r -2 -4 4 ] ; v2=[r -1 1 -5 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base ortonormal para o espaço vetorial gerado pelas combinações lineares dos dois vetores e . Isso está no campo da álgebra linear, especificamente trabalhando com espaces vetoriais e ortogonalização. Para resolver isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt para transformar nossos vetores em uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. “Ortonormal” significa que os vetores são ortogonais (ou seja, perpendiculares entre si) e normalizados (têm comprimento 1).

Passo 3

Vamos começar aplicando o Processo de Gram-Schmidt nos vetores dados e . O objetivo é transformar esses vetores em uma base ortonormal e .

Passo 4

Primeiro, vamos normalizar u1 = v1|v1| para obter |v1| = raiz(-2)^2 + (-4)^2 + 4^2 = raiz4 + 16 + 16 = raiz36 = 6 :
u1 = 16 -2 -4 4 = -13 -23 23
Onde é a norma (comprimento) de :
Então,

Passo 5

Agora, vamos tornar w2 = v2 - proju1 (v2) ortogonal a proju1 (v2) = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 . Para isso, subtraímos a projeção de v2 cdot u1 = (-1)(-13) + (1)(-23) + (-5)(23) = 13 - 23 - 103 = -113 sobre proju1 (v2) = -113 u1 = -113 -13 -23 23 = 119 229 -229 de w2 = -1 1 -5 - 119 229 -229 = -209 -139 -239 :
A projeção é dada por:
Calculando o produto interno :
Como é unitário ( ), a projeção fica:
Então,

Passo 6

Agora, vamos normalizar u2 = w2|w2| para obter |w2| = raiz(-209)^2 + (-139)^2 + (-239)^2 = raiz40081 + 16981 + 52981 = raiz109881 = raiz36627 = raiz3669 :
u2 = 1raiz3669 -209 -139 -239 = 9raiz366 -209 -139 -239 = -20raiz366 -13raiz366 -23raiz366
Calculando a norma de :
Simplificando, embora não seja um número inteiro, podemos deixar em termos de raiz para exatidão ou arredondar se necessário.
Então,

Resposta

A base ortonormal para o espaço vetorial gerado por u1 = -13 -23 23 , u2 = -20raiz366 -13raiz366 -23raiz366 e é:

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