Seja o subespaço gerado pelos vetores abaixo. Escreva como uma soma de um vetor em e outro ortogonal à .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever o vetor y como uma soma de dois vetores: um que pertence ao subespaço W gerado pelos vetores u1 e u2, e outro que é ortogonal a W. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre projeção ortogonal em subespaços. Vamos precisar usar conceitos de combinação linear e ortogonalidade para encontrar esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos expressar y como:
y = y + z
Aqui, y está em W, ou seja, pode ser escrita como uma combinação linear dos vetores geradores:
y = au1 + bu2
Onde a e b são escalares que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que z é ortogonal a todos os vetores em W, incluindo u1 e u2. Isso significa que o produto escalar de z com u1 e u2 deve ser zero: