Seja W o subespaço gerado pelos vetores u abaixo. Escreva y como uma soma de um vetor em W(y) e outro ortogonal à W(z).
y=[r -4 -3 -1 2 ] ; u1=[r -1 -4 -1 1 ] ; u2=[r -1 -1 3 -2 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever o vetor y como uma soma de dois vetores: um que pertence ao subespaço W gerado pelos vetores u1 e u2, e outro que é ortogonal a W. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre projeção ortogonal em subespaços. Vamos precisar usar conceitos de combinação linear e ortogonalidade para encontrar esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos expressar y como:
y = y + z
Aqui, y está em W, ou seja, pode ser escrita como uma combinação linear dos vetores geradores:
y = au1 + bu2
Onde a e b são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que z é ortogonal a todos os vetores em W, incluindo u1 e u2. Isso significa que o produto escalar de z com u1 e u2 deve ser zero:
z cdot u1 = 0 z cdot u2 = 0
Substituindo z = y - y, temos:
(y - au1 - bu2) cdot u1 = 0 (y - au1 - bu2) cdot u2 = 0

Passo 4

Vamos calcular os produtos escalares:
Primeiro, calculemos y cdot u1:
y cdot u1 = (-4)(-1) + (-3)(-4) + (-1)(-1) + (2)(1) = 4 + 12 + 1 + 2 = 19
Agora, u1 cdot u1:
u1 cdot u1 = (-1)^2 + (-4)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 1 + 16 + 1 + 1 = 19
E u2 cdot u1:
u2 cdot u1 = (-1)(-1) + (-1)(-4) + (3)(-1) + (-2)(1) = 1 + 4 - 3 - 2 = 0
Agora, para a segunda equação, calculemos y cdot u2:
y cdot u2 = (-4)(-1) + (-3)(-1) + (-1)(3) + (2)(-2) = 4 + 3 - 3 - 4 = 0
E u2 cdot u2:
u2 cdot u2 = (-1)^2 + (-1)^2 + 3^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 9 + 4 = 15

Passo 5

Agora, montamos o sistema de equações com base nos produtos escalares:
19 - 19a - 0b = 0 0 - 0a - 15b = 0
Simplificando:
19a = 19 15b = 0
Resolvendo:
a = 1 b = 0

Passo 6

Com os valores de a e b encontrados, podemos determinar y:
y = 1 cdot u1 + 0 cdot u2 = u1 = -1 -4 -1 1
E então, o vetor z será:
z = y - y = -4 -3 -1 2 - -1 -4 -1 1 = -3 1 0 1

Resposta

Portanto, o vetor y pode ser escrito como:
y = y + z = -1 -4 -1 1 + -3 1 0 1

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