Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear definida por T(x, y)=(2 x+y, 4 x+2 y). Quais dos vetores abaixo pertencem ao núcleo de T ? (-2,4)

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para descobrir se o vetor está no núcleo da transformação linear definida por . Isso envolve entender o que é uma transformação linear e o que significa estar no núcleo dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de Ker(T) = (x, y) in R^2 mid T(x, y) = (0, 0) , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicados na transformação , resultam no vetor zero . Ou seja,
Então, para saber se está no núcleo de , precisamos verificar se .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação T(-2, 4) = (2 cdot (-2) + 4, 4 cdot (-2) + 2 cdot 4) ao vetor 2 cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0 . Usando a definição de 4 cdot (-2) + 2 cdot 4 = -8 + 8 = 0 :
Vamos calcular cada componente:
Primeiro componente:
Segundo componente:

Passo 4

Após calcular, vemos que . Isso significa que o vetor realmente pertence ao núcleo da transformação .

Resposta

O vetor pertence ao núcleo de .

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