Encontre uma base ortonormal para o subespaço W para cada item abaixo:
R^4 gerado por u1=(1,0,0,1), u2=(1,0,-1,-1), u3=(1,1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal para o subespaço
;W=spanu1,u2,u3subsetR^4,
onde
u1=(1,0,0,1), u2=(1,0,-1,-1), u3=(1,1,1,1)
Vamos usar o processo de Gram–Schmidt para transformar u1,u2,u3 num conjunto ortonormal e1,e2,e3.

Passo 2

Definimos
v1=u1=(1,0,0,1),
calculemos o seu comprimento:
|v1|=raiz1^2+0^2+0^2+1^2=raiz2
Então o primeiro vetor ortonormal é
e1=v1|v1| =1raiz2,(1,0,0,1)

Passo 3

Agora projetamos u2 sobre e1. Primeiro o produto interno:
lang<= u2,e1rang<= =1cdot1+0cdot0+(-1)cdot0+(-1)cdot1raiz2 =1-1raiz2=0
Como a projeção é nula, basta usar
v2=u2=(1,0,-1,-1),
cujo comprimento é
|v2|=raiz1^2+0^2+(-1)^2+(-1)^2=raiz3
Logo
e2=v2|v2| =1raiz3,(1,0,-1,-1)

Passo 4

Para subtraímos de as projeções em e :
Então
O comprimento de é
Para simplificar, note que tem norma , daí

Resposta

Uma base ortonormal de W é
e1=1raiz2,(1,0,0,1), e2=1raiz3,(1,0,-1,-1), e3=1raiz15,(1,3,2,-1)

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