Mostre que, se
é ortogonal a
, então todo múltiplo escalar de
é também ortogonal a
. Encontre um vetor unitário ortogonal a
e
em
.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES, AUTOVALORES E AUTOVETORES
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que, se um vetor
é ortogonal a um vetor em , então qualquer múltiplo escalar de também é ortogonal a . - Encontrar um vetor unitário em
que seja ortogonal simultaneamente a
Vamos usar a definição de produto escalar e resolver um sistema linear para a segunda parte.
Passo 2
Para provar que todo múltiplo escalar
de
permanece ortogonal a
, basta usar a bilinearidade do produto escalar. De fato,
pois
pela hipótese. Logo
é ortogonal a
.
Passo 3
Para achar um vetor
Isso gera o sistema
Podemos tomar parâmetros . Da segunda equação vem
e da primeira
Logo a solução geral é
Passo 4
Basta escolher valores de
e
para obter um vetor não nulo e depois normalizar. Por exemplo, tome
e
. Então
A norma de
é
O vetor unitário desejado é
Resposta
que é unitário e ortogonal a
e
.