Mostre que, se u é ortogonal a v, então todo múltiplo escalar de u é também ortogonal a v. Encontre um vetor unitário ortogonal a v1=(1,1,2,3) e v2=(0,1,3,2) em R^4.

TRANSFORMAÇÕES LINEARES, AUTOVALORES E AUTOVETORES

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que, se um vetor u é ortogonal a um vetor v em R^n, então qualquer múltiplo escalar de u também é ortogonal a v.
  2. Encontrar um vetor unitário em R^4 que seja ortogonal simultaneamente a
v1 = (1,1,2,3) e v2 = (0,1,3,2)
Vamos usar a definição de produto escalar e resolver um sistema linear para a segunda parte.

Passo 2

Para provar que todo múltiplo escalar alpha,u de u permanece ortogonal a v, basta usar a bilinearidade do produto escalar. De fato,
(alpha,u)cdot v = alpha,(ucdot v) = alpha cdot 0 = 0,
pois ucdot v=0 pela hipótese. Logo alpha,u é ortogonal a v.

Passo 3

Para achar um vetor
Isso gera o sistema
Podemos tomar parâmetros . Da segunda equação vem
e da primeira
Logo a solução geral é

Passo 4

Basta escolher valores de s e t para obter um vetor não nulo e depois normalizar. Por exemplo, tome s=2 e t=1. Então
w=(,2-1,;-3cdot2-2cdot1,;2,;1)=(1,-8,2,1)
A norma de w é
|w|=raiz1^2+(-8)^2+2^2+1^2 =raiz1+64+4+1 =raiz70
O vetor unitário desejado é
u=1raiz70,(1,-8,2,1)

Resposta

boxedu=1raiz70,(1,-8,2,1),
que é unitário e ortogonal a v1 e v2.

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