Verdadeiro ou falso?
Sejam V e W subespaços de \mathbb{R}^{3}. Se V \perp W então V^{\perp} \perp W^{\perp}.

Passo 1

O enunciado está no contexto de espaços euclidianos e complementos ortogonais. Precisamos lembrar que, para subespaços V e W de \mathbb{R}^{3}, dizemos V\perp W se todo vetor de V é ortogonal a todo vetor de W. O complemento ortogonal de V, denotado V^{\perp}, é o conjunto de todos os vetores ortogonais a V. Queremos verificar se sempre vale que
V\perp W\quad\Longrightarrow\quad V^{\perp}\perp W^{\perp}.

Passo 2

Recordando propriedades básicas, V\perp W implica
V \subseteq W^{\perp} \quad\text{e}\quad W \subseteq V^{\perp}.
Mas isso não garante nada sobre a relação entre V^{\perp} e W^{\perp}. Para testar a afirmação, bastará encontrar um contraexemplo em \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Escolhemos
V = \mathrm{span}\{(1,0,0)\}, \quad W = \mathrm{span}\{(0,1,0)\}.
Claramente (1,0,0)\cdot(0,1,0)=0, logo V\perp W.

Passo 4

Determinamos os complementos ortogonais:
V^{\perp} = \{(x,y,z)\mid (x,y,z)\cdot(1,0,0)=0\} = \{(0,y,z)\},
W^{\perp} = \{(x,y,z)\mid (x,y,z)\cdot(0,1,0)=0\} = \{(x,0,z)\}.
Para verificar se V^{\perp}\perp W^{\perp}, tomamos um vetor genérico em cada um:
u = (0,1,1)\in V^{\perp}, \quad v = (1,0,1)\in W^{\perp}.
Calculamos o produto escalar:
u\cdot v = 0\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot1 = 1 \neq 0.
Isso mostra que nem todo vetor de V^{\perp} é ortogonal a todo vetor de W^{\perp}.

Resposta

Falso.

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