Verdadeiro ou falso?
Sejam
e
subespaços de
. Se
então
.
Sejam
Passo 1
O enunciado está no contexto de espaços euclidianos e complementos ortogonais. Precisamos lembrar que, para subespaços
e
de
, dizemos
se todo vetor de
é ortogonal a todo vetor de
. O complemento ortogonal de
, denotado
, é o conjunto de todos os vetores ortogonais a
. Queremos verificar se sempre vale que
Passo 2
Recordando propriedades básicas,
implica
Mas isso não garante nada sobre a relação entre
e
. Para testar a afirmação, bastará encontrar um contraexemplo em
.
Passo 3
Escolhemos
Claramente
, logo
.
Passo 4
Determinamos os complementos ortogonais:
Para verificar se
, tomamos um vetor genérico em cada um:
Calculamos o produto escalar:
Isso mostra que nem todo vetor de
é ortogonal a todo vetor de
.
Resposta
Falso.