Seja S o subespaço de \mathbb{R}^{4} gerado pelo vetor \left(\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right). Encontre uma base para S^{\perp}.
Passo 1
O enunciado diz que S é o subespaço de \mathbb{R}^4 gerado pelo vetor
v = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
Precisamos encontrar uma base de S^{\perp}, o complemento ortogonal de S em \mathbb{R}^4. Para isso, vamos usar a definição de complemento ortogonal e o produto interno canônico em \mathbb{R}^4.
Passo 2
Por definição,
S^{\perp} = \{x\in\mathbb{R}^4 \mid x\cdot v = 0\},
onde para x=(x_1,x_2,x_3,x_4) e v=(1,0,-1,0) o produto interno é