Seja S o subespaço de \mathbb{R}^{4} gerado pelo vetor \left(\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right). Encontre uma base para S^{\perp}.

Passo 1

O enunciado diz que S é o subespaço de \mathbb{R}^4 gerado pelo vetor
v = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
Precisamos encontrar uma base de S^{\perp}, o complemento ortogonal de S em \mathbb{R}^4. Para isso, vamos usar a definição de complemento ortogonal e o produto interno canônico em \mathbb{R}^4.

Passo 2

Por definição,
S^{\perp} = \{x\in\mathbb{R}^4 \mid x\cdot v = 0\},
onde para x=(x_1,x_2,x_3,x_4) e v=(1,0,-1,0) o produto interno é
x\cdot v = x_1\cdot1 + x_2\cdot0 + x_3\cdot(-1) + x_4\cdot0 = x_1 - x_3.

Passo 3

A condição x\cdot v = 0 vira
x_1 - x_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = x_3.
Logo, todo vetor x\in S^{\perp} pode ser escrito como
x = (x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4) = (x_1,\,x_2,\,x_1,\,x_4).

Passo 4

Para expor uma base, introduzimos parâmetros livres:
\alpha = x_1,\quad \beta = x_2,\quad \gamma = x_4.
Então
x = (\alpha,\beta,\alpha,\gamma) = \alpha\,(1,0,1,0) + \beta\,(0,1,0,0) + \gamma\,(0,0,0,1).

Passo 5

Como \alpha,\beta,\gamma são quaisquer em \mathbb{R}, os vetores
\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}
são linearmente independentes e geram S^{\perp}.

Resposta

\{\,(1,0,1,0)^{T},\,(0,1,0,0)^{T},\,(0,0,0,1)^{T}\} é uma base de S^{\perp}.

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